А. А. Самарский, А. В. Гулин

ск
имеют различные знаки, то может ока­
заться, что сумма
2 1 * 1
к=о
не является равномерно ограниченной по 
п
и, следовательно, по­
грешность в вычислении /„ неограниченно возрастает с ростом 
п.
В этом случае вычисления по формуле (22) будут неустойчивы и 
пользоваться такой формулой при больших 
п
нельзя.
Таким образом, если необходимо сосчитать интеграл (1) более 
точно, то имеются две возможности. Во-первых, можно разбить весь 
отрезок 
\а, Ь]
на несколько частичных отрезков и на каждом из 
частичных Отрезков 
применить формулу Ньютона -— Котеса с не­
большим числом узлов. Полученные таким образом формулы назы­
ваются 
составными квадратурными формулами.
Они часто приме­
няются на практике, хотя и не являются достаточно экономичными, 
поскольку требуют многократного вычисления значений функции
179

---

,f(x).
Во-вторых, можно попытаться выбрать узлы квадратурной 
формулы так, чтобы полученная формула имела большую точность, 
чем формула Ньютона — Котеса с тем же числом узлов. В следую­
щем параграфе рассматривается один из методов, основанных на 
.выборе узлов квадратурной формулы, а именно метод Гаусса. Он 
приводит к квадратурным формулам с положительными коэффи­
циентами при любых 
п
и существенно более точным, нежели форму­
лы Ньютона — Котеса.
§ 3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов
Т. Постановка задачи. В предыдущем параграфе предполага­
лось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Было пока­
зано, что если использовать 
п
узлов интерполяции, то получим ква­
дратурные формулы, точные для алгебраических многочленов сте­
пени 
п
—1. Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить 
■квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов 
степени выше 
п
—1. Рассмотрим следующую задачу: построить ква­
дратурную формулу
Ь 
п
$Р 
( x ) f ( x ) d x ^ ' 2 } ckf ( x k),
 
(I)
a 
k = i
которая при заданном 
п
была бы точна для алгебраического много­
члена возможно большей степени. Обратим внимание, что здесь в 
отличие от § 2 для удобства изложения нумерация узлов начинает­
ся с 
k =
1.
В настоящем параграфе будет показано, что такие квадратур­
ные формулы существуют. Они называются 
квадратурными форму­
лами наивысшей алгебраической степени точности
или 
формулами
Гаусса.
Эти формулы точны для любого алгебраического многочле­
на степени 2
п
— 1.
Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (1) была точна 
для любого алгебраического многочлена степени 
ш.
Это эквива­
лентно требованию, чтобы формула была точна для функций 
f(x)
=
= х а, а = 0, 
ш.
Отсюда получаем условия
п
Ь
^ CkX%= \.р{х) х?йх,
 
сс = 0, 1, . . . ,
т,
 
(2)
k = i
а
которые представляют собой нелинейную систему 
т+
I уравнений 
-относительно 2
п
неизвестных
Ci, С2, . . . , 
С п ,
Х 1 ,
Х 2, . . . , 
Х п .
Для того чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, 
.надо потребовать 
т = 2п
— 1. В дальнейшем будет показано, что си­
стема (2) при 
т = 2п
— I имеет единственное решение. Однако сна­
чала рассмотрим несколько частных случаев, когда решение систе­
мы (2) можно найти непосредственно.
180

---

Пусть p(jt) == 1, 
а=
—1, 
b —
1. При 
п=
1 получаем 
т =
1 и систе­
ма (2) принимает вид
1 
1 
Ci —
^ 
dx =
2, 
CiXi
= j
х dx
= О,
-1 
-1
т. е. приходим к известной формуле прямоугольников
j /(*)< **-2/(0),
-I
которая точна для любого многочлена первой степени.
При 
п =
2, т = 3 система (2) записывается в виде
^1 + ^2= 2, 
^2^2 = О»
“Ь ^2^2 :== 
~ ~ I C i X i
С $ Х
2 = 0 . 
о
Отсюда находим
1 
1 
1 
Сг -
-- Со -- 1 у Xi --
~г~—
~ у Хп
-- --у
1 
2 
1 
УЗ 
УЗ
т. е. получаем квадратурную формулу