А. А. Самарский, А. В. Гулин

с 
+ ft-
1
) ft, 
fi =
/
( X i ) ,
i
= l
разложение (25) имеет вид
ь
h = $ f ( x ) d x + ^ if'
(
b) - Г (a))
- ™ (Г
(b)
-
Г (a)) +
a
+ - ^ - ( f <> ) - / > » + . . . + ^ / 1 !'( б ) - Л - и М ) + 0 ( ' О .
30240
(32)
Здесь коэффициенты c2r совпадают с коэффициентами разложения 
функции
G(h)
h eh+
1 
2 
eh
— 1
в ряд Тейлора:
G (
h
) = 1 + c2ftz +
c j
i4-]-... + c2r/i2r+ . . .
Доказательство формулы (32), называемой 
формулой Эйлера,
можно найти, например, в [2, с. 165].
§ 2. Квадратурные формулы интерполяционного типа
1. 
Вывод формул. 
Будем рассматривать формулы приближенно­
го вычисления интегралов
$Р 
(x)f(x)dx,
(1)
а
где р ( х ) > 0 — заданная интегрируемая функция (так называемая 
весовая функция) и 
f ( x
) — достаточно гладкая функция. Рассма-
172

---

(2)
триваемые далее формулы имеют вид
ь
П
$ р 
(x )f ( x) dx zz
2
Ckf(Xk),
где 
[а, Ь]
и 
с
к— числа, 
k = 0,
1, . . . ,
п.
В отличие от предыдущего параграфа, не будем разбивать от­
резок [а, 
Ь]
на частичные отрезки, а получим квадратурные форму­
лы путем замены 
f(x)
интерполяционным многочленом сразу на 
всем отрезке [а, 
Ь].
Полученные таким образом формулы называ­
ются 
квадратурными формулами интерполяционного типа.
Как пра­
вило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов 
интерполирования. Рассмотренные в § 1 формулы прямоугольни­
ков, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадра­
турных формул интерполяционного типа, когда 
п =
0, 1, 2, р(х)==1.
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул 
интерполяционного типа. Пусть на отрезке 
[а, Ь]
заданы узлы ин­
терполирования 
х к, k = 0,
1
Предполагается, что среди этих 
узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены 
как угодно на [а, 
Ь].
Заменяя в интеграле (1) функцию 
f(x)
интерполяционным мно­
гочленом Лагранжа
U (х)
= 2
6 = 0
<0