А. А. Самарский, А. В. Гулин

£ = 1 , 2 ........я.
5. 
Частный случай формул Гаусса. 
Формулами Эрмита
называ­
ются формулы Гаусса для вычисления интеграла
I 
—
1
f (х) dx
(13)
т. е. когда а = —6 = — 1, 
р{х) =
(1—
хг)~иг.
Чтобы определить узлы соответствующей квадратурной форму­
лы, надо, согласно теореме 1, найти многочлен (3), для которого
Г 
--(х) q
- ^ ]dx =
0 
(14)
для любого многочлена 
у(х)
степени меньше 
п.
Можно показать 
(см. [2, с. 117]), что таковым является многочлен Чебышева
(х) = Тп (х) = ~ ^ - Cos(narccosx).
(15)
Поэтому узлами квадратурной формулы Эрмита являются корни 
этого многочлена
(2k
— 1) я 
,
2
 
п
Соответствующие коэффициенты вычисляются по формулам (5)
Тп (х) dx
X k -
COS :
k —
1, 2, . . . ,
п.
(16)
Ck
V
1 — * 2 
T n ( x k ) 
(x — 
Xk )
(17)
и оказываются равными
ck=nln, 
k =
1, 2, . . . ,
n.
Таким образом, формулы Эрмита имеют вид
/
(х) dx
У Т ^ Т 1
- 2 /(**)•
п
Й=1
(18)
где 
х
к— корни многочлена Чебышева, определенные согласно (16).
185

---

§ 4. Численное дифференцирование
I. Некорректность операции численного дифференцирования.
Задача численного дифференцирования состоит в приближенном 
вычислении производных функции 
и(х)
по заданным в конечном 
числе точек значениям этой функции. Простейшие примеры фор­
мул численного дифференцирования рассматривались в п. 1 § 4 ч. I. 
Напомним эти примеры. Пусть на 
[а, Ь
] введена сетка
<
0
h = {xi = a + ih,
г = 0, 1, . . . , 
N, hN = b
—
а
}
и определены значения 
и{ = и(х{)
функции 
и(х)
в точках сетки. 
В качестве приближенного значения 
и'(х{)
можно взять, например, 
любое из следующих разностных отношений:
2 
h
Возникающая в результате такой замены погрешность характе­
ризуется разложениями
u~Xfi
= «' 
(Xi) —
Y Ы" (d1'),
(i)
ихЛ 
=
и'(Х1) + | « " ( d 2)),
(2)
и, = u ’(Xi) + ^ u ' " ( t f \
x,i
o
(3)
где £г;), / = 1,2, 3,— точки из интервала 
я(+1).
Вторую производную в точке 
х{
можно заменить отношением
U-XX,L = j ( U^
их.) =
Л3
при этом
и-х . = и" (Xl) +
(*) +
о 
(V).
(4)
Четвертая производная 
uiv (Xi)
с точностью до величины 
О
(/г2) 
аппроксимируется разностным отношением
U X X X K , i
h 2
(
U X X , i + l
^ U x x , i
U x x . i - 1
)