А. А. Самарский, А. В. Гулин

“1~1 
=
W {х) — (х
— Х;_у2) 
и" (х)
+
+ ( —
—
+ 4 )
и'"
 (* )-+ 0
<п >
—~г— - =
и'
W + (■*»■+'/, — 
х) и"
W +
hUl
+
+ %
)
и " '
w +
0
2 >
Подставляя (11) и (12) в выражение для разностной производной
(8) и приводя подобные члены, получим
^-2,1 
(Х)
--
=
и' (х)
- [
( х - х у
2
(hi+i
— 
hi
) (* 
— хд
3
и"' (х) + О
(/г3),
(Х{-
1, 
Xij,
i)..
Отсюда видно, что разностное выражение (8) аппроксимирует 
и'(х)
со вторым порядком. Несколько хуже обстоит дело с выраже­
нием (10), аппроксимирующим вторую производную. Из (4) видно,
189

---

что на равномерной сетке в точке 
х = х {
имеет место аппроксимация 
О {К1). 
Покажем, что на неравномерной сетке 
{h{^ h t+l) 
погреш­
ность аппроксимации будет иметь только первый порядок. Подстав­
ляя разложения (11), (12) в выражение (10) для 
L2ti (х),
получим
L'z.i (х)
=
и" (х)
+
^хс — х +
1+1 
kl
j 
и" (х)
+ О (
h
2).
Здесь даже на равномерной сетке второй порядок аппроксима­
ции имеет место лишь в точке 
х = хи
а относительно других точек 
(например, точек х =
и 
x = xi+i)
выполняется аппроксимация
только первого порядка.
Г Л А В А 5
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Примеры итерационных методов решения
нелинейных уравнений
1. Введение. 
Пусть задана функция 
f(x)
действительного пере­
менного. Требуется найти корни уравнения
f ( x ) =
 0 
(1)
или, что то же самое, нули функции 
f(x).
Уже на примере алгебраического многочлена известно, что нули 
f (x)
могут быть как действительными, так и комплексными. Поэто­
му более точная постановка задачи состоит в нахождении корней 
уравнения (1), расположенных в заданной области комплексной 
плоскости. Можно рассматривать также задачу нахождения дейст­
вительных корней, расположенных на заданном отрезке. Иногда, 
пренебрегая точностью формулировок, будем говорить, что требу­
ется решить уравнение (1).
Задача нахождения корней уравнения (1) обычно решается в 
два этапа. На первом этапе изучается расположение корней (в об­
щем случае на комплексной плоскости) и проводится их разделе­
ние, т. е. выделяются области в комплексной плоскости, содержа­
щие только один корень. Кроме того, изучается вопрос о кратно­
сти корней. Тем самым находятся некоторые начальные приближе­
ния для корней уравнения (1). На втором этапе, используя задан­
ное начальное приближение, строится итерационный процесс, по­
зволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.
Не существует каких-то общих регулярных приемов решения 
задачи о расположении корней произвольной функции 
f(x).
Наи­
более полно изучен вопрос о расположении корней алгебраических 
многочленов
f ( x ) = a 0 + aix + a 2x2+ . . . + amxm.
(2)
Например известно, что если для многочлена (2) с действительными коэф-
фицентами выполнены неравенства
((c) >0, 
f'(c
) > 0.......
f(m>(c)
>0,