А. А. Самарский, А. В. Гулин

и 
для нее повторяется процесс нахождения корня.
2. 
Метод простой итерации. 
Он состоит в том, что уравнение (1) 
заменяется эквивалентным уравнением
x = s(x) 
(3)
и итерации образуются по правилу
*n+i = s(xn), 
п = 0,
1, . . . ,
(4)
191

---

причем задается начальное приближение 
х„.
Для сходимости боль­
шое значение имеет выбор функции 
s(x).
Эту функцию можно за­
давать различными способами, однако обычно она берется в виде
« W
=x + r(x)f (x),
(5)
причем функция 
т(х)
не меняет знака на том отрезке, где отыски­
вается корень. В § 2 будет показано, что метод простой итерации 
сходится при надлежащем выборе начального приближения 
ха,
если |
s'(x.)
| < 1, где 
х
. — корень уравнения (1).
Отметим, что в форме метода простой итерации (4) можно за­
писать, по существу, любой одношаговый итерационный метод.
В частности, если т(х) = т = const, то получим 
метод релаксации
X
J t ± l ^ = f (Xn)t п =
 0 , 1 , . . . ,
(6)
т
для которого s'(x) = I +
t
/ ^
x
), и метод сходится при условии
—2 < т П * .) < 0 . 
(7)
Если в некоторой окрестности корня выполняются условия
Г ( Х ) <
о, 
0 < m ,<
\ f'(x)
| 
< М и
 
(8)
то метод релаксации сходится при т е (0, 2/Aft).
Чтобы выбрать оптимальный параметр т в методе релаксации, 
рассмотрим уравнение для погрешности 
zn = xn
—
х„
Подставляя 
x Ti = x. + zn
в (6), получим уравнение
2п+1~ * -П
= / ( * . + 2„).
Т
По теореме о среднем имеем
f {xt + zn) =f (x. ) + znf'(x, + Qzn) = z nf'(x. + Qzn),
где 0e(O , 1). Таким образом, для погрешности метода релаксации 
выполняется уравнение
гв+1 - » я ==/, ( +0гя)гя>
т
Отсюда приходим к оценке
| г„+1 [ ^ | 1 + т/' 
(х,
+ 0г„) | ■ | г„ | ^ шах | 1 + т/' 
(х, +
0г„) [ • | 
гЛ\,
X
и 
если выполнены условия ( 8 ) ,то
|г п+1[ < т а х { | 1—тЛ4,|, 11—т т ,|} |2 п|.
Таким образом, задача выбора оптимального параметра сводит­
ся к нахождению т, для которого функция
<
7
( т ) = т а х { |
1
—тМ ,|, |1—т т ^ }
принимает минимальное значение.
192

---

Из рассмотрения графика функции 
q(
т) видно, что точка мини­
мума определяется условием
11—
хМ,
| = 11—ш , |
и равна
т = т0 = 2 
/(Mi + m^ .
При этом значении т имеем
Я
Ю = Ро
1 - g
1
+ 
1
т1
так что для погрешности справедлива оценка
Ы < р ? к 1 ,
« = 0 , 1 , . . .
3. Метод Ньютона. Пусть начальное приближение х0 известно. 
Заменим 
f(x)
отрезком ряда Тейлора
f ( x ) ^ H i {x) = f ( x 0) + (x—x0)f ' (x0)
и за следующее приближение 
х,
возьмем корень уравнения 
Н1(х)
=
= 0, т. е.
Вообще, если итерация 
хк
известна, то следующее приближение 
хк+1
в 
методе Ньютона
определяется по правилу
Xk+i
— 
Xk
f(4)
Г (Ч)
’
k = 0 ,
1,
(9 )
Метод Ньютона называют также 
методом касательных,
так как 
новое приближение л:к+, является абсциссой точки пересечения 
касательной, проведенной в точке 
(xh, f(xh))
к графику функции 
f(x),
с осью 
Ох.
Исследование сходимости метода Ньютона будет проведено в