6-mavzu. Funksiyaning differensiali. Differensial hisobining asosiy teoremalari(roll, lagranj, koshi teoremalari). Funksiyaning differensiali

Teorema. (LAGRANJ teoremasi. Chekli orttirmalar haqida) Aytaylik y=f(x) funksiya quyidagicha shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   [a;b] kesmada uzluksiz ;
   
2. 
   (a;b) oraliqda differensiallanuvchi;
   

U holda (a;b) oraliqda hech boʻlmaganda bitta nuqta topiladiki, bu nuqtada

boʻladi.

Eslatma. ROLL teoremasi LAGRANJ teoremasining f(a)=f(b) boʻlgandagi xususiy holi,

Natija. (LAGRANJ teoremasining geometrik maʼnosi) y=f(x) funksiya egri chizigʻida a va b nuqtalar orasida shunday nuqta topiladiki, bu nuqtadan AB xordaga parallel urinma oʻtqazish mumkin boʻladi.

Ushbu formula LAGRANJ formulasi yoki chekli orttirmalar formulasi deyiladi va quyidagicha koʻrinishda ham yozilishi mumkin:

Teorema._(KOSHI_teoremasi'>Teorema. (KOSHI teoremasi. Ikkita funksiya chekli orttirmalarining nisbati haqida) Agar y=f(x) va y=g(x) funksiyalar uchun quyidagicha shartlar bajarilsin:

1. 
   [a;b] kesmada uzluksiz ;
   
2. 
   (a;b) oraliqda differensiallanuvchi;
   
3. 
   (a;b) oraliqda boʻlsa,
   

u holda ushbu intervalda hech boʻlmaganda bitta nuqta topiladiki, bu nuqtada

boʻladi.

Teorema. Agar funksiyaning hosilasi biror bir oraliqda nolga teng boʻlsa, u holda funksiya ushbu oraliqda oʻzgarmas boʻladi.

Teorema. Agar ikkita funksiya biror bir oraliqda bir xil hosilaga ega boʻlsa, u holda ular ushbu oraliqda bir-biridan qandaydir oʻzgarmas qoʻshiluvchiga farq qiladi.