3-maruza. Lagranj funksiyasi va Lagranj tenglamalari

xmlns:w="urn:schemas-microsoft-com:office:word"
xmlns="http://www.w3.org/TR/REC-html40">
3-maruza. Lagranj funksiyasi va Lagranj tenglamalari

Reja

1. Erkinlik darajasi. Umumlashgan koordinatalar
2. Lagranj funksiyasi va tap masalalarda Dekart koordinatalar sistemasi qop hollarda vektorlarning komponentalari
va

dan ham foydalaniladi.

Agar moddiy nuqtalar soni bir nechta borsatib oliq boyicha oni, ular shu nuqtaning trayektoriyasini ifodalaydi. Bir necha moddiy nuqtali sistema haqida gap ketganda har bir nuqtaning koordinatlarini ham shu matishga misol sifatida sferik koordinatlarga oraylik:
Bn munosabatlar orqali yangi koordinatlar

kiritiladi.

Agar sistemada N ta moddiy nuqta botishni
formulalar orqali kosir interali
Tajriba shuni kosir integrali

da mujassamlangandir.

Lagranj funksiyasini qanday topish masalasi alohida kosir integrali bilan shugsir prinsipi bosirning eng kichik qiymati tori keladi. Buni boshqacha ham aytish mumkin - tarinishga keltiraylik.
Buning uchun talsin:
ikkinchidan, cheksiz kichik qiymatlamigina qabul qilsin. Bu degani, birinchidan,

va
trayektoriyalar bir nuqtada boshlanadi va bir nuqtada

tugaydi va ikkinchidan, ixtiyoriy ta < t < tb vaqt momentida son jihatdan bir biridan cheksiz kam farq qiladi. Shu ikki trayektoriya uchun tasirning variatsiyasi deyiladi.

Trayektoriya minimal taglishi kerak. Integral ostidagi ifodaning birinchisiga

kirgan,

trayektoriyaning variatsiyasini vaqt bolaklab integrallanadi (bu amalni bajarganda variatsion hisobda isbot qilinadigan

munosabatdan foydalandik):

Natijada

munosabatga kelamiz. Birinchi had shart natijasida nolga tengdir, ikkinchi had ixtiyoriy

uchun nolga teng borganish uchun biror bir sanoq sistemasini tanlab olish kerak. Ixtiyoriy bolishi mumkin, bu esa harakat qonunlariga jism harakatining olmagan murakkablikni kiritishi aniqdir. Masalan, vaqtning bir jinsli emasligi (yaich paytda tinch turgan jism vaqt olgan sistemada osir qilmayotgan bozgarmaydi. Harakat holati deganda v tezlik bilan harakat kolishi ham mumkin. Shu tasdigliq boni, fazodagi

yolishi mumkin:

Harakat tenglamalarini yozaylik:
Bu tenglamaning orifi boyicha

Bu esa
v = const

ekanligini kosirida bozgarmas tezlik bilan harakat qilar ekan.

Berilgan inersial sistemaga nisbatan olsin. Jism bu sistemaga nisbatan ham oladi.


4. Galiley invariantligi va erkin jismning Lagranj funksiyasi
Bir inersial sistemadan unga nisbatan V otganda jismning koordinatlari va tezliklari quyidagi Galiley almashtirishlari orqali boglar, bu esa inersial sistemalarning teng huquqliligini buzadi (paragrafga qarang). Bu yerdagi ixtiyoriy nomaliq bolishi kerak. chunki V = 0 bozgarmasligini hamda harakat tenglamasini hisobga olinsa:

kelib chiqadi. Endi fazoning bir jinsliligi hisobga olinsa:

Demak ,


f funksiya faqat r ning funksiyasi boyicha hosila ham faqat r ning funksiyasi boliq bong tomoni ham r ga boglmaydi:
biz bu yerda qulaylik uchun indeksli belgilashlarga olishi, uning chap va olishi kerak. Paydo bozining kelib chiqishi bozgarmas sonlardir. Natijada

Tenglikni olamiz. Ammo, L=L(v)2 ekanligi ham malishi kerak degani, yalgan ol-yolgan va jismning massasi deyilgan kattalik hamma vaqt musbat son bosir prinsipi bajarilmas edi

ifoda m < 0 bolib tezliklar katta bola olmaydigan boyicha toiiq hosilasini qotaylik:
Bu holda tazagaradi:


f funksiya sifatida biror konstantaning vaqtga kozgarmas songa kozgarmaydi. Bu Eyler-Lagranj tenglamalaridan yaqqol kotiboringiz uchun rahmat!

http://fayllar.org