6-mavzu. Funksiyaning differensiali. Differensial hisobining asosiy teoremalari(roll, lagranj, koshi teoremalari). Funksiyaning differensiali

6-MAVZU.

FUNKSIYANING DIFFERENSIALI. DIFFERENSIAL HISOBINING ASOSIY TEOREMALARI(ROLL, LAGRANJ, KOSHI TEOREMALARI).

Funksiyaning differensiali

[a;b] intervalda uzluksiz boʻlgan y=f(x) funksiyani koʻrib chiqamiz. Aytaylik biror bir nuqtada x erkli oʻzgaruvchi orttirma qabul qilsin. Argumentning ushbu orttirmasi ga mos funksiyaning orttirmasi quyidagicha formula bilan ifodalanadi:

Har qanday differensiallanuvchi funksiya uchun orttirmani ikkita qoʻshiluvchi yigʻindisi koʻrinishida ifodalash mumkin

B undagi birinchi qoʻshiluvchi orttirmaning asosiy qismi boʻlib, orttirmaga chiziqli bogʻlangan, ikkinchi qoʻshiluvchi esa ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor hisoblanadi. – ifodaga funksiyaning differensiali deyiladi va dy yoki kabi belgilanadi.

Funksiya orttirmasi ni qismlarga boʻlish gʻoyasini misolda koʻrib chiqamiz:

Aytaylik tomoni boʻlgan kvadrat berilgan boʻlsin. Uning yuzasi .

Agar kvadrat tomonini oshirsak, u holda kattalashgan kvadratning aniq yuzasi:

yaʼni yuzaning orttirmasi quyidagiga teng boʻladi:



+ + =

=

Demak funksiya orttirmasi asosiy qismdan ga proporsional boʻlgan funksiya differensialidan iborat va u

teng. Hamda ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor boʻlgan ikkinchi qismdan iborat:

Bu ikkita boʻlakning yigʻindisi kvadrat yuzasining toʻla orttirmasini beradi:

Shuni aytish lozimki ushbu misolda A koeffitsiyent S funksiyaning nuqtadagi hosilasi qiymatiga teng A=2 .

Teorema. Funksiyaning nuqtadagi orttirmasi asosiy qismidagi A koeffitsiyent ushbu nuqtada – hosila qiymatiga teng, yaʼni funksiya orttirmasi quyidagicha formula bilan ifodalanadi:

Ushbu tenglikning ikkala tomonini ga boʻlsak

da limitga oʻtganda hosilaning nuqtadagi qiymatiga ega boʻlamiz:

Bunda biz miqdor ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor ekanligini eʼtiborga oldik, yaʼni

Agar erkli oʻzgaruvchi x ning differensiali dx ni uning orttirmasi ga teng deb olsak, u holda munosabatdan

ekanligi kelib chiqadi, yaʼni funksiya hosilasini ikkita differensiallar nisbati deb ham olish mumkin.