10. Дискретные системы управления

10.6.2.2. Алгебраический критерий Джури
Чтобы определить, что все корни характеристического уравнения замкнутой дискретной системы находятся внутри круга единичного радиуса плоскости , составляют следующую таблицу:

Первые две строчки таблицы это коэффициенты характеристического полинома,
расположенные в прямом и обратном порядке.
. Третья линия получается вычитанием из коэффициентов первой строчки элементов второй строчки, умноженных на Четвертая линия записывается в
обратном порядке элементам третьей. Пятая линия получается аналогично третьей, но с умножением элементов четвертой линии на , и так далее, до линии. Последняя линия содержит только один элемент.
Сам критерий.
Все корни характеристического уравнения находятся внутри круга радиуса 1, если a₀>0 и все элементы Количество отрицательных элементов равно количеству корней, расположенных вне круга единичного радиуса.
Пример применения.
Для уравнения таблица Джури имеет следующий вид:

Итак, корни находятся внутри круга единичного радиуса, если и
Il Отсюда следует, что условия устойчивости следующие:



10.6.2.3.Критерий устойчивости Шура - Кона
Чтобы воспользоваться критерием Шура - Кона необходимо поместить коэффициенты характеристического полинома в подматрицы, а потом из этих подматриц составить матрицы, детерминанты которых должны повергаться контролю.
Порядок составления подматриц следующий. Подматрица содержит диагональные элементы, равные , тогда как подматрица содержит элементы, равные . Выше диагонали все элементы равны нулю. Ниже диагоналей элементы суть коэффициенты характеристического полинома с соседними индексами.

Кроме того, составляют транспонированные подматрицы Затем, располагают все четыре подматрицы в один детерминант порядка в соответствии со следующей схемой:

Детерминант имеет 2k строк et 2k столбцов. Изменяют k от 1 до n(k=1,2,3,…,n ).
Критерий Шура - Кона.
Все корни характеристического уравнения находятся внутри круга радиуса 1, если
все будут меньше нуля ( <0) для нечетных k, и все выше нуля ( >0) для четных k.
Примеры применения.
1. Пусть Нужно рассчитать детерминант и его сравнить с нулем.

Следовательно, необходимо для устойчивости, чтобы <0. Напомним, что Два элемента не могут одновременно быть меньше нуля; значит, Это и есть условия устойчивости.
2. Пусть характеристический полином Нужно оценить в этом случае et



Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы