10. Дискретные системы управления

10. 6. Исследование устойчивости дискретных систем


10.6.1.Общий критерий устойчивости дискретных систем
Дискретная система, так же как непрерывная, при определенных условиях может быть неустойчивой
В общем случае реакция дискретной системы на входной сигнал :

где установившаяся и переходная составляющая.
Если для любого n, система устойчива ;
Если хотя бы для одного n, система неустойчива.
Анализ устойчивости дискретной системы наиболее удобен, если возможно записать характеристическое уравнение замкнутой системы. Для системы, имеющей
передаточную функцию замкнутой системы

характеристическое уравнение замкнутой системы
Хорошо известно, что если корни характеристического уравнения находятся в области устойчивости, то система будет устойчивой.
Чтобы найти область устойчивых корней дискретной системы, необходимо искать в плоскости z. Эта зависимость следует из связи
Рассмотрим два характерных случая:

1. 
   
   
2. 
   
   

Следовательно, область устойчивых корней характеристического уравнения плоскости z есть круг единичного радиуса (рис.10.43).

Таким образом, общий критерий устойчивости замкнутой дискретной системы:

чтобы замкнутая дискретная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы
корни характеристического уравнения находились бы в круге единичного радиуса плоскости z.
Если , то система находится на границе устойчивости; если хотя бы один корень >1, то система не устойчива.


10.6.2.Алгебраические критерии устойчивости дискретных систем
Алгебраические критерии устойчивости дискретных систем выводятся из соответствующих критериев непрерывных систем, так как между непрерывной и дискретной областями существует тесная связь.
Известно, что критерии устойчивости непрерывных систем строятся на определенных ограничениях на коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы:

Для дискретной системы характеристическое уравнение может быть записано только по степеням :