10. Дискретные системы управления

10.4.2. Уравнение и передаточные функции замкнутой дискретной системы

Необходимо найти уравнение и передаточную функцию замкнутой дискретной системы с одним импульсным элементом (рис.10.35).

Запишем уравнение разомкнутой системы: В этом уравнении

входной сигнал есть ошибка – разность между задающим воздействием и выход
ной величиной : Подвергнем ошибку преобразованию Лапласа:
Подставляем -преобразование ошибки в уравнение разомкнутой системы.
.
После несложных преобразований получаем
Из последнего выражения нетрудно получить формулу для передаточной функции замкнутой системы:

Отметим, что полученное выражение по форме полностью аналогично выражению передаточной функции замкнутой непрерывной системы.

Получим теперь выражение передаточной функции замкнутой системы по ошибке, то-есть, отношение изображений ошибки к изображению задающего воздействия.
Опять подвергнем уравнение ошибки - преобразованию:
Заменим в этом уравнении выражением:
= . Отсюда нетрудно получить выражение
передаточной функции по ошибке для замкнутой дискретной системы:
.
Видим, что полученное выражение передаточной функции полностью по форме
повторяет соответствующее выражение для непрерывной замкнутой системы.


10.4.3. Уравнения и передаточные функции дискретных систем произвольной структуры.
Дискретные системы управления, что мы рассматривали ранее, содержали один дискретный элемент, стоящий в прямом канале системы после узла сравнения. Однако, существует множество дискретных систем, где дискретный элемент расположен или в цепи обратной связи, или в середине прямой цепи, или сразу во многих точках замкнутых контуров.
Чтобы записывать уравнения в  - изображениях в дискретных автоматических системах управления произвольной структуры, следует пользоваться тремя следующими правилами.
1. Если дискретный сигнал действует на группу непрерывных звеньев (рис. 10.36), то  - изображение выходного сигнала


где есть символическое обозначение
2. Если непрерывный сигнал действует на входе одного или нескольких непрерывных звеньев, то
-изображение выходного сигнала (рис.10.37) будет равно:

где есть преобразование произведения непрерывных изображений .
3. Третье правило устанавливает порядок записи уравнений в -изображениях, когда дискретный сигнал действует на группу непрерывных звеньев, разделенных
дискретными элементами, действующими синхронно (рис.10.38).

Изображение выходного сигнала

Используя выше сформулированные правила для записи уравнений в -изображениях, рассмотрим несколько конкретных примеров.

1. 
   Система с импульсным датчиком (рис.10.39,а).
   

Чтобы написать уравнения, предварительно трансформируем исходную схему,
выполнив искусственный разрыв контура перед первым импульсным элементом (рис.10.39,б).

Рис.10.39




И окончательно, можем написать Однако по этому выражению нельзя написать передаточную функцию замкнутой системы, так как нет свободного -изображения входного сигнала .
2. Система с дискретизацией сигнала обратной связи (многоточечное регулирование) (рис.10.40,а).

В этом случае, в преобразованной схеме (рис. 10.40,б) вводится промежуточная величина , для которой и записывается  - изображение:

 -изображение выходной величины

3. Система с дискретным элементом в середине прямого канала системы (рис.10.41,а).

4. Система с цифровым контроллером в прямом канале системы (рис. 10.42,а).

В этой схеме: Е₁- дискретный элемент, соответствующий преобразователю АД системы; Е₂ – дискретный элемент, соответствующий преобразователю ДА системы.

Согласно схеме, рис.10.42,б, напишем уравнения в -изображениях, сначала, для промежуточной величины , потом для выходной величины .