10. Дискретные системы управления

10.5. Частотные характеристики дискретных систем
Если на вход дискретной системы подать дискретный синусоидальный сигнал
X(n)=A₁sin (ωnT+φ₁),
где ω – круговая частота; A₁- амплитуда; φ₁- начальный фазовый сдвиг.
На выходе дискретной системы появится сигнал такого вида:
Y(n)=A₂(ω) sin(ωnT+φ₂).
Связь между сигналом на входе и сигналом на выходе определяется частотной характеристикой: Y(n)=W_р (e^jωΤ) x(n), где при z= e^jωΤ частотная характеристика разомкнутой системы, определяемая по дискретной передаточной функции разомкнутой системы путем замены s на jω. Часто эту характеристику называют комплексной передаточной функцией. Модуль комплексной функции
.
Кривая в функции частоты, построенная на комплексной плоскости, называется амплитудно-фазовой характеристикой (годографом Найквиста).
Характеристики F₁(ω)= = f₁(ω) et F₂ (ω) = f₂(ω) называются, соответственно, амплитудно-частотной (АЧ) и фазочастотной (ФЧ) характеристикой
разомкнутой системы.
Частотные характеристики дискретных систем имеют особенности в сравнении с таковыми непрерывных систем.

1. 
   Периодичность частотных характеристик дискретных систем. Это свойство ЧХ дискретных систем следует из периодичности аргумента частотных характеристик:
   

Это значит, что свойства частотных характеристик повторяются с частотой ω₀=2π /T. Следовательно, достаточно рассматривать ЧХ дискретных систем в диапазоне
-π/T  /T. Так как ЧХ дискретных систем для частот -π/T  0 комплексно- сопряженные ЧХ в диапазоне 0 /T, достаточно рассматривать ЧХ в диапазоне
0/T.

2. 
   Частотные характеристики дискретных систем начинаются и кончаются на комплексной плоскости, на вещественной оси.
   

Действительно, так как

так как .