10. Дискретные системы управления

10.4.Уравнения и передаточные функции дискретных систем
10.4.1.Уравнение и передаточная функция разомкнутой дискретной системы
Структурная схема разомкнутой дискретной системы с одним импульсным элементом выглядит следующим образом (рис.10.28):

Здесь - последовательность мгновенных импульсов типа -функций, модулированных непрерывным сигналом ; - передаточная функция приведенной непрерывной части системы.
Проблема 1. необходимо найти уравнение, связывающее временные функции
на входе и на выходе разомкнутой дискретной системы, то-есть, найти уравнение разомкнутой дискретной системы во временной области.
Будем последовательно рассматривать реакцию приведенной непрерывной части
на последовательность мгновенных импульсов, приложенных к её входу.
1. Пусть на вход подан один импульс единичной площади (рис.10.29).

Рис. 10.29

2. На входе приведенной непрерывной части действует мгновенный импульс единичной площади, но сдвинутый на n периодов дискретизации (рис.10.30).

3. Теперь посмотрим реакцию ПНЧ на мгновенный импульс, смещенный на n
периодов и модулированный непрерывным сигналом ( рис.10.31).

Рис. 10.31

4.Наконец, посмотрим реакцию приведенной непрерывной части системы на последовательность мгновенных импульсов, модулированных непрерывным сигналом, (рис.10.32).

Рис. 10.32


По полученному уравнению считают выходную переменную для Тогда
уравнение разомкнутой системы
2. Вторая проблема – получить уравнение в -изображениях для разомкнутой системы.
Подвергнем последнее уравнение -преобразованию: Согласно теореме об изображении свертки имеем
Обозначая , имеем окончательно

Таким образом получено уравнение в -изображениях для разомкнутой дискретной системы. -изображение называется передаточной функцией разомкнутой системы. Так как через передаточную функцию можно найти
только ряд дискретных значений выходной величины, такую передаточную функцию называют дискретной передаточной функцией. Её находят двумя способами:
1.Используя обратное преобразование Лапласа = и затем подвергая -преобразованию: ;
2.Определяют непосредственно по , разлагая последнюю передаточную функцию на ряд простых слагаемых.
Два замечания по определению :

1. 
   дискретная передаточная функция нескольких последовательно соединенных
   

непрерывных звеньев не равна произведению их передаточных функций (рис.10.33);

для схемы рис. 10.33 справедливо

2. 
   дискретная передаточная функция параллельно соединенных элементов равна сумме передаточных функций отдельных элементов (рис.10.34).
   

Для схемы рис.10.34 имеем:

где