10. Дискретные системы управления

10.3.3.10. Обратное Z-преобразование
Обратным Z-преобразованием называют определение дискретной временной функции исходя из известного Z-преобразования.
Отметим, что невозможно восстановить полностью функцию-оригинал по известному Z-изображению. Можно лишь найти совокупность промежуточных значений временной функции.
Существует три способа определения по известному .
1. Использование таблиц соответствия между и . Иногда при этом выполняют предварительное разложение на простейшие слагаемые, которым имеется соответствие в таблицах соответствия.
2. Разложение в ряд по отрицательным степеням z в соответствии с основной формулой Z-преобразования

Когда представляет собой рациональную дробь, достаточно разделить числитель дроби на её знаменатель, чтобы получить ряд слагаемых, коэффициенты которых суть желаемые значения .
Пример. Пусть

1 +0,2 ^-1 +0,04 ^-2 + 0,008 ^-3 +

- 0,04 ^-1 Имеем тогда
0,04 ^-1
0,04 ^-1- 0,008 ^-2
0,008 ^-2
Из приведенного примера ясно, что метод деления числителя на знаменатель применим только к простым выражениям .
В общем случае, предпочтительно использовать готовое выражение .
Предположим, что выражение представляет рациональную дробь



Сделаем преобразование с целью получить в числителе и знаменателе ряды
по отрицательным степеням z . Для этого вынесем в числителе и знаменателе множители и :


Теперь представим последнее выражение в следующей форме:

Представим левую часть последнего выражения следующим образом (используя теорему смещения):
.
Теперь умножая обе части выражения на знаменатель, получим

Развертывая в ряд по отрицательным степеням z , получим:

И теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях z:
для
для
В общей форме можно написать: .
При имеем
3. Использование общего выражения обратного Z-преобразования:

Контур кругового интеграла должен окружать все
полюса подынтегральной функции (рис.10.27).
Обычно вычисляют круговой интеграл с помощью
метода остатков:
.
Здесь N – число полюсов, q –число особых точек; n=0, N=q+1; при n>0 .
Пример.
;