10. Дискретные системы управления

10.8.4. Выбор частоты дискретизации
Какие соображения необходимо принять во внимание, выбирая частоту
дискретизации?
1. Она может быть известна заранее соответственно частоте, на которой работает тот или иной реальный элемент системы (например, дискретный задатчик сигнала программы, дискретный датчик обратной связи, импульсный исполнительный орган).
2. Она может быть выбрана исходя из желания обеспечит качественную
воспроизводимость задающего сигнала. Это обстоятельство особенно важно для
следящих систем управления и систем числового программного управления.
3. Наконец, она может быть выбрана по соображениям устойчивости и желаемых качественных показателей работы системы.
Рассмотрим сначала второй пункт сформулированных выше соображений, так как первый не зависит от нас, а третий связан с вторым.
Раньше мы нашли связь между спектрами непрерывного и дискретного сигналов:

Рис. 10. 59. отражает эту связь графически

Если частота дискретизации мала, мы имеем наложение спектров, и спектр дискретного сигнала не равен простой последовательности непрерывных спектров. Предположим, что имеется фильтр низких частот, наибольшая частота которого равна ω_M, где ω_M – частота максимальная спектра непрерывного сигнала. В этом случае фильтр фиксирует спектр, который отличается от спектра непрерывного сигнала (рис.10.60,a). Если частота дискретизации выбрана таким образом, что наложение спектров отсутствует, мы имеем совпадение спектров непрерывного и дискретного (рис. 10.60,б).

Из рис. 10.60,а и б видно, что круговая частота дискретизации ω₀=2π/T должна быть, по крайней мере, в два раза больше, чем максимальная частота спектра непрерывного сигнала ω_M.

Это заключение составляют основу теоремы Котельникова-Шеннона:
непрерывный сигнал может быть передан его дискретными значениями без искажений, если частота дискретизации, по крайней мере, в два раза больше, чем максимальная частота спектра непрерывного сигнала:

Чтобы применить теорему Котельникова-Шеннона для выбора частоты дискретизации, необходимо знать максимальную частоту спектра непрерывного сигнала. Спектры реальных сигналов имеют, как правило, быстропадающий модуль спектра при росте частоты, что допускает определить приближенно частоту ω_M, принимая определенные условия. Существует несколько методов определения частоты дискретизации.
1.Требуют, чтобы преобладающая часть энергии сигнала, оцениваемая интегралом от квадрата модуля спектра, находилась в полосе частот 0≤ ω ≤ ω_M.
Запишем условие выбора ω₀
где A –коэффициент, близкий к единице.
2. Требуют, чтобы модуль спектра непрерывного сигнала при частоте π/T
был бы равен где - значение модуля на частоте ω=0 и b – коэффициент, достаточно близкий к нулю:
.
3.Требуют, чтобы модуль спектра дискретного сигнала на частоте π/T был бы равен где a –коэффициент, близкий к нулю:

Так как условие выбора частоты квантования может быть записан так:

где рассчитываются просто, заменив предварительно в числителе z на (–1) и в знаменателе - на (1).
Мы видели, что частотные характеристики дискретной системы могут быть построены как сумма характеристик приведенной непрерывной части системы, расположенные вдоль оси частот
Обозначим значительную полосу частот, проходящих через приведенную непрерывную часть, ω_t. Предположим, что частота дискретизации выбрана так, чтобы характеристики не накладывались друг на друга. В этом случае, характеристики дискретной системы и приведенной части практически совпадают в полосе частот 0≤ ω ≤ ω_t.
Условие идентичности характеристик может быть записан так:

Это условие может рассматриваться как аналог теоремы Котельникова-Шеннона.
Во время анализа и синтеза дискретных систем выбирают где - частота среза характеристики «амплитуда-частота» приведенной непрерывной части системы.
Следовательно, чтобы обеспечить устойчивость системы и воспроизводимость управляющих сигналов управления, необходимо выбирать частоту дискретизации равной или выше, чем половина частоты среза характеристики приведенной непрерывной части системы. Это предварительное условие уточняется во время анализа и синтеза конкретной системы управления.