10. Дискретные системы управления

10.3.2. Z-преобразование
Чтобы облегчить обработку преобразований, полагают и вводят преобразование для функции

Для преобразования функции , начальное значение которой , получают

Представляют обычно соответствие между функцией-оригиналом
и её преобразованием следующим образом

Чтобы облегчить запись соответствия, часто используют символ соответствия ■─□, с которым принимает форму
■─□
Соотношение между непрерывной функцией-оригиналом и его преобразованием Лапласа записывается следующим образом:
·  ○ .
Подобными символами можно легко представить соответствие между Z-преобразованием и преобразованием Лапласа непрерывной функции
■   .
Несколько простейших примеров.
Изображение единичной ступенчатой функции

(Здесь использовалось выражение суммы геометрической прогрессии).
Изображение экспоненциальной функции = =
=
опять речь идет о сумме геометрической прогрессии .
Для Z- преобразования получаем =


10.3.3. Общие свойства Z-преобразования
10.3.3.1. Правило линейности Z-преобразования.
Определение: Z-преобразование линейной комбинации непрерывных функций
равно линейной комбинации их изображений
.

10.3.3.2. Правило смещения во временной области (теорема смещения).
Обычно различают два случая: смещение вправо (запаздывание) и смещение влево (опережение).

Правило смещения временной функции вправо (запаздывание): смещению функции-оригинала вправо на m интервалов дискретности соответствует умножение на

Z-преобразования несмещенной временной функции
.
Приведенное правило позволяет представить дискретный фильтр или канал цифрового регулятора в виде структурной схемы, где сдвиг на один период дискретности соответствует умножению сигнала на (рис. 10.24)



Правило смещения временной функции влево (опережение): смещению функции-оригинала влево на m интервалов дискретности соответствует умножение на
Z-преобразования несмещенной временной функции, если m значений временной функции равны нулю: