1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

(a² + 1)² – 4a² = (a² + 1)² – (2a)² = ((a² + 1) – 2a)( (a² + 1) + 2a) =

= (a² + 1 – 2a)( a² + 1 + 2a) = (a² – 2a + 1)( a² + 2a + 1) .

Hosil bo‘lgan ifodadagi 1-qavs a – 1 ning kvadrati, 2-qavs esa a + 1 ning kvadratidir:

(a² – 2a + 1)( a² + 2a + 1) = (a – 1)²(a + 1)² .

Bu yerda qo'shiluvchilar umumiy ko'paytuvchiga ega emasligi sababli, avval kvadratlar ayirmasi formulasidan foydalanildi, so'ngra yig'indi va ayirma kvadratlarining formulalaridan foydalanildi.

3-misol. 4x² – y² + 4x + 2y ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating:

Yechish: 1- va 2- hadlarni hamda 3- va 4- hadlarni guruhlaymiz:

4x² – y² + 4x + 2y = (4x² – y²) + (4x + 2y) ,

Hosil bo‘lgan ifodada 1- qavsga kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llaymiz, 2-qavsda esa 2 ni qavsdan tashqariga chiqaramiz:

(4x² – y²) + (4x + 2y) = ((2x)² – y²) + (2 · 2x + 2y) =

= (2x – y)(2x + y) + 2(2x + y) ,

so‘ngra 2x + y ni qavsdan tashqariga chiqaramiz:

(2x – y)(2x + y) + 2(2x + y) = (2x + y)( 2x – y + 2) .

Birhadlar umumiy ko'paytuvchiga ega bo'lmagani va biror formulani qo'llash mumkin bo'lmagani uchun, avval guruhlash usulidan foydalanildi, so'ngra esa kvadratlar ayirmasi formulasi qo'llanildi.

Shunday qilib, ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish uchun ushbu qoidalarga amal qilish lozim:

1) agar umumiy ko'paytuvchi bo'lsa, uni qavsdan tashqariga chiqarish;

2) ko'phadni qisqa ko'paytirish formulalari bo'yicha ko'paytuvchilarga ajratishga urinib ko'rish;

3) agar oldingi usullar maqsadga olib kelmasa, guruhlash usulini qo'llashga harakat qilish.

2.