1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

(a + b)² = a² + 2ab + b²

4. 
   Ayirmaning kvadrati.
   

Ikkita son ayirmasining kvadrati (a – b)² ni keltirib chiqaramiz. Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish qoidasidan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:

(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b² .

Demak,

(a – b)² = a² – 2ab + b² .

Ikki son ayirmasining kvadrati birinchi son kvadrati, ayiruv birinchi son bilan ikkinchi son ko'paytmasining ikkilangani, qo'shuv ikkinchi son kvadratiga teng.

 

5. 
   Ayirmaning kvadratini geometrik usul bilan keltirib chiqarish.
   

Quyidagi rasmda tomoni a ga teng bo‘lgan kvadrat berilgan. Uning tomoni b ga kamaytirilsa ( bu yerda b < a), qolgan kvadratning yuzi S = (a – b)^2 bo‘ladi. Ikkinchi tomondan, S ni topish uchun a^2 dan “kesib olingan” shakl yuzini ayirish ham mumkin. “Kesib olingan” shaklning yuzi (a – b) · b + ab = ab – b^2 + ab =2ab – b^2 ga teng. U holda S = a^2 – (2ab – b^2) = a^2 – 2ab + b^2 . Demak, (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 .

6. 
   Qisqa ko‘paytirish formulalarining tatbiqlari.
   

Yig'indi yoki ayirmaning kvadrati formulalari qisqa ko'paytirish formulalari deyiladi va ko'p hollarda hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo'llaniladi, masalan:

1) 99² = (100 – 1)² = 100 ² – 2 · 100 · 1 + 1² = 10000 – 200 + 1 = 9801 .

2) 73² = (70 + 3)² = 70 ² + 2 · 70 · 3 + 3² = 4900 + 420 + 9 = 5329 .

Qisqa ko‘paytirish formulalari a son musbat yoki manfiy son bo'lib, uning moduli 1 ga nisbatan ancha kichik bo'lsa (masalan, a = 0,0032 yoki a = – 0,0021), (1 + a)² ifodaning qiymatlarini taqribiy hisoblashlarda ham qo'llaniladi. U holda a² son yanada kichik bo'ladi va shu sababli

(1 + a)² = 1 + 2a + a²

tenglikni (1 + a)² ≈ 1 + 2a taqribiy tenglik bilan almashtirish mumkin, masalan:

1) 1,001² = (1 + 0,001)² ≈ 1 + 2 · 0,001 = 1 + 0,002 = 1,002 .

2) 0,998² = (1 – 0,002)² ≈ 1 – 2 · 0,002 = 1 – 0,004 = 0,996 .

Yig'indining kvadrati va ayirmaning kvadrati formulalari ko'phadni ko'payluvchilarga ajratishda ham qo'llaniladi, masalan:

1) x² + 6x + 9 = x² + 2 · 3 · x + 3² = (x + 3)² .

2) a⁴ – 8a²b³ + 16b⁶ = (a²)² – 2 · a² · 4b³ + (4b³)² = (a² – 4b³)² .

7. 
   Yig'indining kubi va ayirmaning kubi.
   

(a + b)³ ni hisoblaylik. Bu ifodani (a + b) va (a + b)² ifodalarning ko‘paytmasi ko‘rinishida yozishimiz mumkin, u holda

(a + b)³ = (a + b) (a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =

a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

Demak, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ .

Xuddi shunday

(a – b)³ = (a – b) (a – b)² = (a – b)(a² – 2ab + b²) =

a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ .

Demak, (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ .

Hosil qilingan formulalar mos ravishda yig'indining kubi va ayirmaning kubi deb ataladi.

Bu formulalar ham qisqa ko'paytirish formulalari hisoblanadi.

22-mavzu: Kvadratlar ayirmasi formulasi

Kvadratlar ayirmasi formulasini ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish usulidan foydalanib keltirib chiqarish.

Ikki son kvadratlari ayirmasi a² – b² ifoda berilgan bo‘lsin. Bu ifodaga ab birhadni qo‘shamiz va ayiramiz:

a² – b² = a² – b² + ab – ab .

Hosil bo‘lgan ko‘phadning 1- va 3- hadlarini guruhlaymiz, 2- va 4- hadlarini esa “–” ishorasi bilan guruhlaymiz, so‘ngra ko‘paytuvchilarga ajratamiz:

a² – b² + ab – ab = (a² + ab) – (b² + ab) = a(a + b) – b(b + a) =

= (a + b)(a – b) .

Demak,

a² – b² = (a + b)(a – b) .

Ikki son kvadratlarining ayirmasi shu sonlar ayirmasi bilan ular yig'indisining ko'paytmasiga teng.

 

Hosil bo‘lgan tenglikni kvadratlar ayirmasi formulasi deyiladi.

Tenglikning o‘ng va chap tomonlarining o‘rnini almashtirsak

(a + b)(a – b) = a² – b² .

hosil bo‘ladi. Bu formula ham qisqa ko‘paytirish formulasi deyiladi.

Bu tengliklarda a va b istalgan sonlar yoki algebraik ifodalardir, masalan:

1) m²n²– 9k² = (mn + 3k) (mn – 3k) ;

2) (2a²b + 5ab²) (2a²b – 5ab²) = 4a⁴b² – 25a²b⁴ .

1. 
   Kvadratlar ayirmasi formulasining tatbiqlari.
   

Qisqa ko‘paytirish formulasi

(a + b)(a – b) = a² – b²

dan hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo'llaniladi.

Masalan:

1) 37 · 43 = (40 – 3) · (40 + 3) = 40² – 3² = 1600 – 9 = 1591 ;

2) 102 · 98 = (100 + 2) · (100 – 2) = 100² – 2² = 10000 – 4 = 9996 .

Kvadratlar ayirmasi formulasi

a² – b² = (a + b)(a – b)

dan ко'phadlarni ko'paytuvchilarga ajratishda qo'llaniladi.

Masalan:

1) a² – 16 = (a + 4)(a – 4) ;

2) 9b⁶ – 0,81c⁴ = (3b³)² – (0,9c²)² = (3b³ + 0,9c²)( 3b³ – 0,9c²) .

2. 
   Kvadratlar ayirmasi formulasini geometrik usul bilan keltirib chiqarish.
   

a² – b² = (a + b)(a – b) formulani geometrik mulohaza yordamida ham keltirib chiqarish mumkin.

Quyidagi rasmda tomonlarining uzunligi a bo'lgan kvadratdan tomonlari uzunligi b bo'lgan kvadrat qirqib olindi. Qolgan shaklning yuzi S ni topamiz. Bir tomondan S = a^2 – b^2 . Ikkinchi tomondan bu yuza tomonlari a va a – b ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak hamda tomonlari b va a – b ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzalari yig‘indisiga teng, ya’ni: S = a(a – b) + b(a – b) = (a – b)(a + b) . Demak, a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) .

23-mavzu: Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishning bir necha usullarini qo'llash

1. 
   Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish qoidalari.
   

Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratishda ba'zan bir emas, balki bir necha usullar qo'llaniladi. Quyidagi misollarni ko‘raylik:

1-misol. a³ – a ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating:

Yechish: berilgan ifodada a ni qavsdan tashqariga chiqaramiz:

a³ – a = a(a² – 1) ,

so‘ngra qavs ichidagi ifodaga kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llaymiz:

a(a² – 1) = a(a + 1)(a – 1) .

Bu yerda ikkita usuldan foydalanilgan: umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish va kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llash.

2-misol. (a² + 1)² – 4a² ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating:

Yechish: berilgan ifodaga kvadratlar ayirmasi formulasini tadbiq qilamiz: