1-mavzu. Sonli ifodalar al-Xorazmiy kim bo‘lgan

ab + ас – ad = a(b + с – d)

ni hosil qilamiz. So‘ngra a , b , c larning o‘rniga ularning qiymatini qo‘yib, hisoblashni bajaramiz:

a(b + с – d) = 43 · (26 + 17 – 23) = 43 · 20 = 860 .

ab + ас – ad algebraik ifodada umumiy ko'paytuvchi a bo'ladi; 43 · 26 + 43 · 17 – 43 · 23 sonli ifodada esa umumiy ko'paytuvchi 43 soni bo'ladi.

Agar ko'phadning barcha (son yoki harfiy) hadlari umumiy ko'paytuvchiga ega bo'lsa, иholda shu ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish mumkin.Qavs ichida berilgan ko'phadni shu umumiy ko'paytuvchiga bo'lish natijasida hosil qilingan ko'phad qoladi.

 

3. 
   Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratish qoidasi.
   

Quyidagi ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrataylik:

6ab + 3b – 12bc .

Berilgan ko'phadning barcha hadlari 3b umumiy ko'paytuvchiga ega, chunki 6ab=3b·2a, 3b=3b·1, –12bc = 3b · (– 4c) .

Demak, 6ab + 3b – 12bc = 3b(2a + 1 – 4c) .

Ko'phadning umumiy hadini masala mazmuniga qarab, qavsdan tashqariga “+” ishorasi bilan ham, “–“ ishorasi bilan ham chiqarish mumkin. Masalan:

ab – b = b(a – 1);

4a²b³ – 6a³b² = 2a²b² (2b – 3a) yoki

4a²b³ – 6a³b² = – 2a²b² (3 a – 2b) .

Shunday qilib, ko'phadni umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish yo'li bilan ко'paytuvchilarga ajratish uchun:

1) shu umumiy ko'paytuvchini topish;

2) uni qavsdan tashqariga chiqarish kerak.

Agar ko'phad hadlarining koeffitsiyentlari natural sonlar bo'lsa, u holda umumiy ko'paytuvchini topish uchun ko'phad hadlari koeffitsiyentlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topish, bir xil asosli darajalar orasidan esa eng kichik ko'rsatkichli darajani topish lozim. Masalan, 28x²b³ – 21x³b² ko'phadni ko'paytuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:

7x²b²(4b – 3x) .

Bu yerda 7 soni 28 va 21 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi, x² va b² esa x va b ning eng kichik ko'rsatkichli darajalaridir.

Ko'phadni ko'paytuvchilarga ajralganligining to'g'riligini hosil bo'lgan ko'phadlarni ko'paytirish yo'li bilan tekshirish mumkin. Masalan, oxirgi misolda ko'paytirishni bajarib quyidagini hosil qilamiz:

7x²b²(4b – 3x) = 28x²b³ – 21x³b² .

Umumiy ko'paytuvchi ko'phad bo'lishi ham mumkin, masalan:

1) 5(a + b) + x(a + b) = (a + b)(5 + x);

2) 3x(a – 2b) +5y(a – 2b) + 2(a – 2b) = (a – 2b)(3x + 5y + 2) .

Ba'zan umumiy ko'paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarishdan oldin a – b = – (b – a) tenglikni qo'llash foydali bo'ladi, masalan:

1) (a – 3)x – (3 – a)y = (a – 3)x + (a – 3)y = (a – 3)(x + y) .

2) 15a²b(x² – y) – 20ab²(x² – y) + 25ab(y – x²) = 15a²b(x² – y) –

– 20ab²(x² – y) – 25ab(x² – y) = 5ab(x² – y)(3a – 4b – 5) .