1- ishorasi almashinuvchi qatorlar haqida tushuncha Ta`rif

Ishorasi almashinuvchi qatorlar

reja:
1 Ishorasi almashinuvchi qatorlar haqida tushuncha.

2 Leybnits alomati.

3 Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar.

4 Dalamberning absolyut yaqinlashish alomati.

1- Ishorasi almashinuvchi qatorlar haqida tushuncha

Ta`rif: Hadlarining ishorasi ham musbat, ham manfiy bo`lgan qatorlarga ishorasi o`zgaruvchi qatorlar deyiladi.

Ishorasi o`zgaruvchi qator ishorasi o`zgarmas bo`lgan qatorga, ya`ni barcha hadlarining ishorasi bir xil bo`lgan qatorga qarama – qarshi qo`yiladi. Ishorasi o`zgaruvchi qatorning xususiy holi ishorasi almashinuvchi qatordir.

Ta`rif: Hadlari navbat bilan musbat va manfiy bo`ladigan ishora o`zgartiruvchi qatorga ishorasi almashinuvchi qator deyiladi va u quyidagicha ifodalanadi:

a₁- a₂+ a₃- a₄ +…+(-1)^n-1 a_n+…

Bunda a₁, a₂, …, a_n lar musbat sonlardir.

2- Leybnits alomati

Teorema. Agar

a₁- a₂+ a₃+…+(-1)^n-1 a_n+… (1)

ishorasi almashinuvchi qator hadlarining absolyut kattaliklari monoton kamayuvchi bo`lsa,

a₁≥ a₂≥ a₃≥…≥ a_n … (2)

hamda qatorning umumiy hadi a_n nolga intilsa, ya`ni

(3)

bo`lsa, (1) qatorning yig`indisi uchun

0 ≤ s ≤ a₁ (4)

tengsizlik bajariladi hamda berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

Isboti: Berilgan qatorning juft va toq nomerli hadlarining alohida-alohida xususiy yig`indilarini topamiz. U holda, juft nomerli hadlari yig`indisi
S_2n=a₁- a₂+ a₃- a₄+…+ a_2n-1­­- a_2n=(a₁- a₂)+( a₃- a₄)+…+ (a_2n-1- a_2n). (5)
(2) ketma – ketlik manfiy bo`lmaganligi sababli, S_2n ≥ 0 dir. Bundan tashqari,

S_2n+2= S_2n+ (a_2n+1- a_2n+2) ≥ S_2n (6)
bo`lganligi uchun n→∞ da S<sub>2n</sub> kamayuvchi bo`lmaydi.

S_2n xususiy yig`indini quyidagicha ham ifodalash mumkin:

S_2n=a₁-( a₂ - a₃)-…-( a_2n-2 - a_2n-1)- a_2n (7)
Qavslar ichidagi ayirmalar va a_2n lar manfiy bo`lmaganliklari sababli

s_2n≤ a_{1 .}

Demak, juft nomerli hadlarning xususiy yig`indisi kamayuvchi bo`lmaganligi hamda yuqoridan chegaralanganligi uchun u limintga ega, ya`ni:

(8)

Qatordagi toq nomerli hadlarning xususiy yig`indisi uchun quyidagi o`rinlidir.

s_2n+1 = s_2n+ a_2n+1

Bundan,

(9)
U holda, quyidagi ham o`rinli bo`ladi: s_n =s (10)

s_2n ≥0 bo`lganligi uchun s ≥0, n>1 da s<sub>2n</sub> ≤ a<sub>1</sub>-( a<sub>2</sub> - a<sub>3</sub>)=b<sub>1</sub>
Bundan, 0 ≤ s= s<sub>­n</sub> ≤ b ≤ a<sub>1.</sub>
Teorema isbot bo`ldi.

Misol.

qator yaqinlashishini Leybnits alomati yordamida tekshiring.

Yechilishi: Berilgan ishorasi almashinuvchi qator kamayuvchidir, ya`ni:



n→∞ da a_n ning limiti nolga intiladi, ya`ni


Demak, Leybnits alomatidagi shartlar bajariladi. U holda, berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.