1-§. Сонли қаторлар

4 - §. Funksional qatorlar,
ularning yaqinlashish sohasi
9.4.1. Hadlari ning funksiyalaridan iborat bo`lgan

qator funksional qator deyiladi.
Agar
sonli qator yaqinlashsa, funksional qator nuqtada yaqinlashuvchi deyiladi.
ning

qator yaqinlashuvchi bo`ladigan barcha qiymatlari to`plami funksional qatorning yaqinlashish sohasi deyiladi.
yig`indi funksional qatorning - qismiy yig`indisi deyiladi.
funksiya funksional qatorning yig`indisi deb, ayirma esa qator qoldig`i deb ataladi.
1 – m i s o l. Ushbu

funksional qatorning yaqinlashish sohasini toping.
Y e ch i sh. Qatorning umumiy hadi: (x) Agar bo`lsa, u holda
biroq,

bo`lgani uchun, qator uzoqlashuvchidir.
Agar bo`lsa, yana uzoqlashuvchi

qatorni hosil qilamiz.
Agar bo`lsa, u holda berilgan qatorning hadlari ushbu

cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlaridan kichik bo`ladi, demak, taqqoslash alomatiga ko`ra, qator yaqinlashadi.
Shunday qilib, berilgan funksional qatorning yaqinlashish sohasi dan iborat bo`ladi.
9.4.2. Agar yaqinlashuvchi

funksional qator uchun har qanday berilganda ham shunday nomer topish mumkin bo`lsaki, bo`lganda kesmadagi istalgan uchun tengsizlik bajarilsa, berilgan funksional qator da tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
F u n k s i o n a l q a t o r n i ng t e k i s y a q i n l a sh u v ch i b o` l i sh i n i ng V e y e r sh t r a s s a l o m a t i: agar

funksional qator uchun hadlari musbat sonli shunday

qator mavjud bo`lib, da

bo`lsa, u holda funksional qator bu kesmada tekis yaqinlashadi.
2 – m i s o l. Ushbu

qator ning barcha qiymatlarida tekis yaqinlashishini isbot qiling.
Y e ch i sh. Leybnits alomatiga ko`ra berilgan ishorasi navbatlashuvchi qator ning istalgan qiymatlarida yaqinlashadi, shuning uchun bu qatorning qoldig`i
ya`ni tengsizlik yordamida baholanadi.
Ravshanki, istalgan uchun shunday nomer tanlash mumkinki, barcha va istalgan uchun < tengsizlik bajariladi.
Shunday qilib, berilgan qator tekis yaqinlashadi.
3 – m i s o l. Veyershtrass alomati yordamida

qator barcha lar uchun tekis yaqinlashishini isbot qiling.
Y e ch i sh.

va 1
qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun berilgan qator barcha lar uchun tekis yaqinlashadi.
9.4.3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari:
a) agar tekis yaqinlashuvchi funksional qatorning hadlari kesmada uzluksiz bo`lsa, uning yig`indisi ham bu kesmada uzluksiz bo`ladi;
b) agar

funksional qatorning hadlari kesmada uzluksiz bo`lib, qator bu kesmada tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda

bu yerda qator yig`indisi;
c)

funksional qatorning hadlari kesmada aniqlangan va bu kesmada
uzluksiz hosilalarga ega bo`lsin. Agar bu kesmada berilgan qator yaqinlashuvchi va uning hadlari hosilalaridan tuzilgan

qator tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksional qatorning yig`indisi ham kesmada hosilaga ega bo`ladi va

4 – m i s o l. Ushbu

qatorga qatorlarni hadma – had differensiyalash to`g`risidagi xossani tadbiq qilish mumkinmi?
Y e ch i sh. Berilgan qatorni yaqinlashuvchi

qator bilan taqqoslaymiz ( istalgan tayin da ).
Yetarlicha katta larda

bo`lgani uchun va taqqoslashning limit alomatiga ko`ra berilgan qator ham yaqinlashadi. Berilgan qator umumiy hadining hosilasini topamiz:

Hosilalardan tuzilgan qator quyidagi ko`rinishga ega:

Bu qatorning hadlari yaqinlashuvchi

qatorning mos hadlaridan kichik ekanini ko`ramiz. Demak, Veyershtrass alomatiga ko`ra, hosilalardan tuzilgan qator oraliqda tekis yaqinlashadi, binobarin, qatorlarni differensiyalash xossasini berilgan qatorga qo`llash mumkin.
4 – darsxona topshirig`i

1. 
   Qatorlarning yaqinlashish sohasini toping:
   

1. 
   
   
   
2. 
   
   
   

3. 
   
   
   
4. 
   
   
   

5. 
   
   
   
6. 
   
   
   

J: a) b) c) ;

d) e) e) .

2. 
   Ushbu
   

qator kesmada tekis yaqinlashishini ko`rsating.

3. 
   Qatorlarning tekis yaqinlashish sohasini toping:
   

1. 
   
   
   

2. 
   

   
   

J: a) ; b) .
4 – mustaqil ish

1. 
   Funksional qatorning yaqinlashish sohasini toping:
   

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

J: a)
b)
c)

2. 
   Ushbu
   

qatorning oraliqda tekis yaqinlashishini tekshiring.

3. 
   Ushbu
   

qatorni kesmada hadma – had integrallash mumkinmi?
J: Mumkin, chunki berilgan qator da tekis yaqinlashuvchidir.