1-§. Сонли қаторлар

1-§. Сонли қаторлар.
9.1.1. Сонли u₁, u₂, ... u_n, ... кетма -кетлик берилган бўлсин. Ушбу

кўринишдаги йиғинди сонли қатор дейилади, u₁, u₂, ... u_n, ... cонлар қаторнинг ҳадлари, қаторнинг n-ҳади u_n эса қаторнинг умумий ҳади деб аталади.
Сонли қаторнинг дастлабки n та ҳадининг йиғиндиси S_n орқали белгиланади ва қаторнинг n- хусусий йиғиндиси дейилади.
S_n=u₁+u₂+… +u_n

S унинг йиғиндиси дейилади.
Қуйидаги
R_n=u_n+1+ u_n+2 +…+ u_n+m+…ифода қаторнинг n-қолдиғи дейилади.
Геометрик прогрессиянинг ҳадларидан тузилган

қатор q l бўлганда узоқлашувчи, q <1 бўлганда яқинлашувчидир (бунда
у S= йиғиндига эга).
Ушбу

қатор гармоник қатор деб аталади, у узоқлашувчидир.
Умумлашган гармоник қатор ( ёки Дирихле қатори) деб аталувчи

қатор р 1 да узоқлашувчи, р>1 да яқинлашувчидир.
Қаторнинг яқинлашувчи бўлишининг зарурий шарти: Агар

Қатор узоқлашувчи бўлишининг (қатор узоқлашишининг) етарли шарти:


Мисол. Ушбу каторнинг йиғиндисини топинг:

Ечиш. Қаторнинг умумий ҳади u_n= ни содда касрлар йиғиндиси кўринишида ифодалаймиз:
=
Бундан
1=A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)+Cn(n+1).
Бу ерда кетма-кет n=1, n = 2, n = 3 қийматларни бериб, ҳосил бўлган чизиқли тенгламалар системасини ечиб, А= , В 1 , С= ни ҳосил қиламиз.
Шундай қилиб,


u_n=
ёки
u_n=
Бу ердан:
и₁=
и₂=
и₃=
и₄=
___________________________________


u_n=

Чап ва ўнг томонларни жамлаймиз:

S_n=
унинг йиғиндиси S = га тенг.
9.1.2. Яқинлашувчи қаторларнинг хоссалари:




λ·S га тенг бўлади;


(S ) га тенг бўлади; в) агар қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда унда исталган чекли сондаги ҳадларни ташлаб юбориш ёки унга чекли сондаги ҳадларни қўшиш натижасида ҳосил бўлган қатор ҳам яқинлашувчи бўлади.
1-дарсхона тonшupuғи
Қаторларнинг яқинлашувчи эканини исбот қилинг ва уларнинг йиғиндисини топинг.






1- мустақил иш
Қаторларнинг яқинлашувчи эканини исбот қилинг ва йиғиндисини топинг.





2- §. Мусбат ҳaдли қаторларнинг
яқинлашиш ва узоқлашиш аломатлари


9.2.1. Т а қ қ о с л а ш а л о м а т и . Агар мусбат ҳадли иккита

тенгсизлик бажарилса, у ҳолда:

келиб чикади;

келиб чикади.

1. 
   м и с о л. Ушбу
   

қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини текширинг.
Е ч и ш. u_n= эканлиги равшан.

Ибoрат ва у яқинлашувчи. Таққослаш аломатига кўра берилган қатор ҳам яқинлашувчидир
2-м и с о л. Ушбу

қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини текширинг.
Е ч и ш. Барча учун . u_n= .



қаторнинг ҳам узоқлашувчи бўлиши чикади.
9.2.2. Т а қ қ о с л а ш н и н г л и м и т а л о м а т и . Агар ҳадлари мусбат иккита

бўлса, у ҳолда иккала қатор бир вақтда яқинлашади ёки бир вақтда узоқлашади.

3- м и с о л. Ушбу

қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини текширинг.

Гармоник қатор узоқлашувчи эканидан берилган қаторнинг ҳам узоқлашувчи экани келиб чиқади.

2. 
   м и с о л. Ушбу
   

қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини текширинг.
Е ч и ш. Таққослашнинг лимит аломатини қўллашда махражи га тенг бўлган геометрик прогрессиядан фойдаланамиз.






яқинлашади.

мавжуд бўлса, у ҳолда бу қатор d да яқинлашади, бўлганда узоқлашади.

5- м и с о л. Ушбу

қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини текширинг.

Е ч и ш . Бу ерда u_n= ва u_n+1=

шунинг учун

Демак, берилган қатор яқинлашади.
мавжуд бўлса, бу қатор < 1 бўлганда яқинлашади, 1 да узоқлаш
6- м и с о л. Ушбу

қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини текширинг.
Y e ch i sh. u_n = bo`lgani uchun

.
Demak, berilgan qator uzoqlashadi.
9.2.5. K o sh i n i ng i n t e g r a l a l o m a t i. Agar

qatorning hadlari musbat va o`smaydigan bo`lib, da aniqlangan, uzluksiz, musbat va manoton kamayuvchi funksiya uchun tenglamalar o`rinli bo`lsa, u holda

xosmas integral yaqinlashsa, berilgan qator ham yaqinlashadi va aksincha, xosmas integral uzoqlashsa, qator ham uzoqlashadi.
7 – m i s o l.

qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini tekshiring.
Y e ch i sh. f (x) = deb olaylik. Bu funksiya Koshining integral alomatining barcha talablarini qondiradi.

Demak, xosmas integral yaqinlashadi, shuning uchun berilgan qator ham yaqinlashadi.
2 - darsxona topshirig`i

1. 
   Quyidagi qatorlarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini tekshiring :
   

a) J: Yaqinlashadi.

b) J: Uzoqlashadi.

c) J: Uzoqlashadi.

d) J: Yaqinlashadi.

e) J: Yaqinlashadi.

f) J: Uzoqlashadi.

g) J: Yaqinlashadi.

h) J: Yaqinlashadi.

2. 
   Isbot qiling:
   

1. 
   
   
2. 
   
   2 – mustaqil ish
   

Quyidagi qatorlarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini tekshiring.

1. 
   J: Uzoqlashadi.
   
2. 
   J: Yaqinlashadi.
   

3. 
   J: Yaqinlashadi.
   

4. 
   J: Uzoqlashadi.
   

5. 
   J: Yaqinlashadi.