1-§. Сонли қаторлар

8 -§. Даражали қаторларнинг тадбиқи
9.8.1. Ф у н к ц и я қ и й м а т и н и т а қ р и б и й ҳ и с о б л аш. Баъзи холларда функциянинг тақрибий қийматини берилган аниқликда хисоблаш учун унинг даражали қаторга ёйилмасидан фойдаланилади.
1 – м и с о л. е сонини 0.00001 гача аниқлик билан топинг.
Е ч и ш. х=1 да е^х нинг қаторга ёйилмасидан фойдаланамиз:

сонини шундай аниқлаймизки,

тақрибий тенгликнинг хатолиги 0.00001 дан ошмасин. Қолдиқни бахолаймиз:


Энди

тенгсизликн ечиб, ни хосид қиламиз. Демак,

Буни хисоблаб, талаб қилинган аниқликдаги жавобни оламиз:
е 2.71828.
2 – м и с о л. 0.001 гача аниқлик билан хисобланг.
Е ч и ш. Равшанки,

Аввал танишган биноминал қатордан фойдаланамиз




Бу ишораларни навбатланувчи қатор Лейбниц аломатини қаноатлантиради, шунинг учун қолдиқ: Мазкур ҳолда тўртинчи хад демак, яъни

9.8.2. Интегралларни қаторлар ёрдамида ҳисоблаш. Интеграл остидаги функцияни даражали қаторга ёйиб, даражали қаторларни интеграллаш тўғрисидаги теоремани қўллаб, интегрални даражали қатор кўринишида тасвирлаш ҳамда унинг қийматини бу қаторнинг яқинлашиш оралиғидаги x нинг ҳар қандай қийматида берилган аниқлик билан ҳисоблаш мумкин.
3 – мисол. интегрални топинг.
Ечиш. функцияни даражали қаторга ёйамиз.

У бутун сонлар ўқида яқинлашади, демак, уни ҳадма – ҳад интеграллаш мумкин:

Даражали қаторни интеграллашда унинг яқинлашиш оралиғи ўзгармаганлиги сабабли, ҳосил қилинган қаторхам бутун сонлар ўқида яқинлашади.
4 – мисол. ни 0,001 гача аниқлик билан хисобланг.
Ечиш. функциянинг даражали қаторга ёйилмасидан фойдаланамиз (у ерда x ни билан алмаштирамиз):

Қатор бутун сонлар ўқида яқинлашади, шунинг учун уни ҳадма – ҳад интеграллаш мумкин, яъни



Ҳосил қилинган ишораларни навбатланувчи қаторнинг учинчи хади 0,001 дан кичик , шунинг учун

9.8.3. Дифференциал тенгламаларни тақрибий ечиш. Агар диффе-ренциал тенгламани элементар функциялар ёрдамида аниқ интеграллаб бўлмаса, унинг ечимини Тейлор ёки Маклареннинг даражали қатори кўри-нишида излаш қулайдир.
5- мисол. Ушбу

дифференциал тенглама ечимининг даражали қаторга ёйилмасининг дастлабки бешта хадини топинг.
Ечиш.Ечимни даражали қатор кўринишида излаймиз:

да қуйидагига эгамиз:

Берилган дифференциал тенгламадан ни топамиз. Берилган тенгламани дифференциаллаймиз ва ҳосилаларнинг даги қийматини ҳисоблаймиз:

Топилган қийматларни қаторга қўйиб, изланаётган ечимни ҳосил қиламиз:

8 – дарсхона топшириғи
1. Даражали қаторлар ёрдамида қуйидаги миқдорларни 0,0001 гача аниқлик билан тақрибий ҳисобланг:
а) б) в) г)
Ж: а)0,3679; б) 8,0411; в) 0,2094 ; г) 0,0953.
2.Қуйидаги аниқ интегрални даражали қаторлар ёрдамида 0,01 гача аниқликда ҳисобланг:
а) б) в)
Ж: а)0,248; б) 0,098; в) 0,102 .
3.Аниқмас интегралларни даражали қаторлар кўринишида топинг ва ҳосил қилинган қаторларнинг яқинлашиш соҳасини кўрсатинг:
а) б)
Ж: а) б)
4.Берилган бошланғич шартларни қаноатлантирувчи дифференциал тенгламалар ечимларининг даражали қаторга ёйилмасининг дастлабки беш-та ҳадини ёзинг:

8 – мустақил иш
1.Даражали қаторлар ёрдамида 0,001 гача аниқликда ҳисобланг:
а) ; б) в)
Ж: а)0,841; б) 4,125; в) 1,000 .
2.Қуйидаги аниқ интегрални 0,001 гача аниқликда ҳисобланг:
а) ; б)
Ж: а)0,508; б) 2,835.
3. Дифференциал тенглама ечимининг даражали қаторга ёйилмасининг дастлабки учта ҳадини топинг:
а) ; б)