1-§. Сонли қаторлар

9 - §. Фурье қаторлари
9.9.1. Агар функция оралиқда чегараланган (яъни бу ерда М - ўзгармас) ва бўлакли - монатон (яъни оралиқни ҳар бирида бу функция монотон бўлган чекли сондаги оралиқларга ажратиш мумкин) бўлса, у ҳолда бу функция оралиқда Дирихле шартла-рини қаноатлантиради дейилади.
9.9.2. Агар функция узунлиги га тенг оралиқда Дирихле шартларини қаноатлантирса, , у ҳолда бу оралиқнинг узлуксиз бўлган ҳар қандай x нуқтасида функцияни Фурье тригонометрик қаторига ёйиш мумкин, яъни

бу ерда - Фурье коэффициентлари бўлиб, улар қуйидаги формулалар бўйича ҳисобланади:

Агар нуқта функциянинг узилиш нуқтаси бўлса, Фурье қатори йиғиндиси функциянинг чап ва ўнг лимитларининг ўрта арифметигига тенг:

Оралиқ оҳирлари ва нуқталарда;

9.9.3. Агар - жуфт (яъни ) бўлса, у ҳолда Фурье қаторида фақат косинуслар қатнашади, чунки барча бўлиб, бўлади. Агар функция тоқ (яъни ) бўлса, Фурье қаторида фақат синуслар қатнашади, чунки барча бўлиб, бўлади.
9.9.4. оралиқда берилган функция оралиқга ё жуфт, ё тоқ функция каби давом эттирилиши мумкин. Демак, уни зарур бўлса, оралиқда косинуслар ёки синуслар бўйича тўлиқ бўлмаган Фурье қаторига ёйиш мумкин.
9.9.5. Даври бўлган ҳар қандай даврий функция ва исталган учун

бўлгани учун Фурье коэффициентларини қуйидаги формулалар бўйича ҳисоблаш мумкин:

бу ерда
1 – мисол. Даври бўлган ушбу

функцияни Фурье қаторига ёйинг.
Ечиш. Берилган функция бўлаклаб узлуксиз ва чегараланган бўлгани учун уни Фурье қаторига ёйиш мумкин.(42 - шакл).

(42 - шакл)
Фурье коэффициентларини топамиз:



n - жуфт бўлганда, n - тоқ бўлганда



Топилган коэффициентлардан фойдаланиб, Фурье қаторини тузамиз:


Бу қатор берилган функцияга барча ларда яқинлашади. нуқталарда қатор йиғиндиси

формула бўйича ҳисобланади (42 – шаклга қаранг.)
9.9.6. Агар функция узунлиги бўлган бирор оралиқда Дирихле шартларини қаноатлантирса, функциянинг бу оралиққа тегишли узлуксиз нуқталарида функцияни Фурье қаторига ёйиш мумкин:

бу ерда

функциянинг узулиш нуқталарида ва оралиқ охирларида да Фурье қатори йиғиндиси оралиқда ёйиш ҳолдаги каби аниқланади.