1-§. Сонли қаторлар

6 - §. Функцияларни Тейлор ва Маклорен
қаторларига ёйиш
9.6.1. Aгар у= f(x) функция х=х₀ нуқта атрофида ( ) тартиблигача хосилаларга эга бўлса, у холда қуйидаги Тейлор формуласи ўринлидир
….+

бу ерда Тейлор формуласининг Лагранж шаклидаги қолдиқ ҳади дейилади.
….
кўпхад у= функциянинг даражали Тейлор кўпхади дейилади.
х = 0 да Тейлор формуласининг хусусий холи – Маклорен формуласи хосил бўлади:
….+
бу ерда
9.6.2.Агар у= функция нуқта атрофида исталган марта дифференциалланувчи бўлса ва бу нуқтанинг бирорта атрофида

бўлса, Тейлор ва Маклорен формулаларидан ушбу
….
ва
….+ ....
ч ексиз қаторлар ҳосил бўлади. Буларнинг биринчиси Тейлор қатори, иккинчиси Маклорен қатори дейилади. Бу қаторлар х нинг =0 бўладиган қийматларида f(x) га яқинлашади.^{n ∞}
1 – м и с о л. у = x⁴-3x²+2x+2 функцияни (х-1) иккихад даражалари бўйича ёйинг.
Е ч и ш. х₀=1 учун Тейлор формуласидан фойдаланамиз. Функциянинг хосилаларини ва уларнинг х₀=1нуқтадаги қийматларини топамиз:
у(1)= 2;у΄(1)= (4x³-6x+2) ;у΄΄(1)= (12x²-6) ;
у΄΄΄(1)= 24x ;у^IV(1)= 24;у^V(1)= 0 ва ҳ.к.
Демак,
у = x⁴-3x²+2x+2=2+
ёки
у = x⁴-3x²+2x+2=2+ .
2 – м и с о л. у= функция учун х₀=1 нуқтадаги даражали Тейлор кўпхадни ёзинг.
Е ч и ш. Функциянинг хосилаларини ва уларнинг х₀=1 нуқтадаги қийматларини топамиз:
у(1)= 1;у΄(1)= ;у΄΄(1)= у΄΄΄(1)= =-
у^IV(1)=
Демак, Тейлор кўпхади қуйидаги кўринишда бўлади:
….+

-
Берилган функция учун қолдиқ хад

кўринишида бўлади.
3 – м и с о л. у = 2^х функцияни Маклорен қаторига ёйинг.
Е ч и ш. Ҳосилаларнинг х=0 нуқтадаги қийматларини топамиз:
у(0)= 1;у΄(0)= 2^xln2 ;у΄΄(0)= 2^xln²2 ;
у΄΄΄(0)= 2^xln³2 ;уⁿ(0)=2^xlnⁿ2
Маклорен қаторини тузамиз:
y=2^x=1+xln2+
Топилган қаторнинг яқинлашиш радиусини аниқлаймиз:
R=
Демак, қатор сонлар ўқининг барча нуқталарида абсолют яқинлашади. қолдиқ хад:

0
Бироқ исталган х учун шунинг учун (исталган х да). Бу топилган қатор йиғиндиси, исталган х ларда хакиқатан хам 2^х га тенглигини билдиради.


6 – дарсхона топшириғи

1. 
   f(х)=x⁵-4х+2x³+2x+1 кўпхадни (х+1) иккихаднинг даражалари бўйича ёйинг.
   
2. 
   f(х)=x⁴-5x³+x²-3х+4 кўпхадни (х-4) иккихаднинг даражалари бўйича ёйинг.
   
3. 
   f(х)= функцияних₀=1 нуқта атрофида Тейлор қаторига ёйинг.
   
4. 
   f(х)= функцияни х₀=1 нуқта атрофида Тейлор қаторига ёйинг.
   
5. 
   f(х)= функцияни Маклорен қаторига ёйинг.
   

6 – мустақил иш

1. 
   f(х)=x¹⁰-3x⁵+1функцияни( х-1) иккихаднинг даражалари бўйича ёйинг.
   
2. 
   f(х)= функцияни х₀=3 нуқта атрофида Тейлор қаторига ёйинг.
   
3. 
   f(х)=x²е^хфункцияни Маклорен қаторига ёйинг ва яқинлашиш сохасини топинг.