Xayotjonova zirofatxonning

KO’PHADLARNING QOLDIQLI BO’LINISHI.
Agar halqa birlik elementga ega bo’lsa, ko’phadlar halqasi o’z ichiga 1 ni va ni olganligi sababligi ni ham oladi.
Faraz qilaylik, ko’phad berilgan bo’lsin. Darasi n ga teng bo’lgan va bosh koeffitsienti bo’lgan har qanday ko’phadning bosh koeffitsientinini doimo 1 ga keltirib olish mumkin. Buning uchun ko’phadni qarash kifoya. ko’phaddan tashqari bosh koeffitsienti ixtiyoriy bo’lgan

darajali ko’phad berilgan bo’lsin.
TEOREMA. Har qanday va ko’phadlar uchun shunday va ko’phadlar mavjudki, ular uchun

tenglik bajariladi va bu tenglikni qanoatlantiruvchi va lar yagona bo’lib,

ISBOTI. Agar ko’phaddan ko’phadni ayirsak, ko’phadda had bo’lmaydi (bu had ixchamlanib ketadi).
Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin. ning darajasi
a) ning darajasidan kichik,
b) darajasidan kichik emas.
Agar a) hol yuz bersa, bo’lib, teorema
isbotlangan bo’ladi. Biz b) hol ustida to’xtalib o’tamiz. Faraz qilaylik
bo’lib,
ko’rinishga ega bo’lsin.
Endi ko’phadni ga ko’paytirib, natijani dan ayiramiz. ; ko’phadda had bo’lmaydi, chunki u ixchamlanib ketadi.
bo’lsin. Bu yerda yana yuqoridagi ikki holdan biri yuz berishi mumkin. Agar bo’lsa, quyidagi ayirmani tuzamiz:
.
Bu protsesni davom ettirib, biror qadamdan so’ng ga erishishimiz tabiiy. Boshqacha aytganda tenglikda . Endi



. . . . . . . . . . . . . . . .

Tengliklarni hadlab qo’shamiz. Unda hosil bo’ladi. Bu yerda va desak,


(1)

hosil bo’ladi. tenglikda bo’linuvchi, bo’luvchi, chala bo’linma esa qoldiq ko’phadlar deyiladi.

Endi (1) tenglikning yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, (1) shartni qanoatlantiruvchi yana bir juft va ko’phadlar mavjud, ya’ni
(2)

bo’lsin, (1) va (2) tengliklarni hadlab ayirib,

Yoki

ga ega bo’lamiz. Bu yerda va ning aniqlanishiga asosan
. (3)
Agar chap tomonda bo’lganda edi ,

bo’lar edi . Bu esa (3) ga zid. Shuning uchun . Bundan . Teorema to’liq isbot etildi. Bu teoremani ba’zan ko’phadni ko’phadga bo’lish algoritmi deb ham ataladi.