Xayotjonova zirofatxonning

2-ta’rif. bo’lganda had ko’phadning bosh hadi, esa ozod hadi deyiladi.
Endi ikkita ko’phadning formal-algebraik ma’nodagi tenglik tushunchasini kiritamiz.
Ikkita ko’phadning nolli ( koeffitsientlari nolga teng ) hadlaridan boshqa barcha mos nomerli hadlari bir-biriga teng bo’lganda va faqat shundagina ular o’zaro teng deb ataladi.
Masalan, va ko’phadlar o’zaro tengdir.
Ko’phadlar tengligi simvolik ravishda quyidagicha yoziladi:

Ikkita


ko’phadning yig’indisi deb,

ko’phadni tushunamiz, bu yerda , bo’lib, agar bo’lsa, .
Agar bo’lsa, deb olinadi.
Yana shuni ta’kidlaymizki , bundan
va yig’indi ko’phadning darajasi qo’shiluvchi ko’phadlarning darajasidan katta emas. Agar bo’lsa , yig’indining darajasi qo’shiluvchi ko’phadlarning darajasidan katta emas, chunonchi xatto kichik ham bo’lishi mumkim, masalan , bo’lgan hol.
Ko’phadlar to’plamida ayirish amali o’rinli. Bu to’plamda nol element deb barcha koeffitsientlari nollardan iborat ko’phad olinadi.
ko’phad uchun

ko’phad qarama-qarshi ko’phad deyiladi.

Endi va ko’phadlarning ko’paytmasi tushunchasini
kiritamiz. va ko’phadlar ko’paytmasi deb koeffitsientlari

tenglik bilan aniqlanuvchi ko’phadni aytiladi. Bu yerda

Ko’phadning koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo’lgani uchun va bo’lganda bo’lib, ko’phadlar ko’paytmasining darajasi ular darajalarining yig’indisiga teng bo’ladi.


TEOREMA. Ko’phadlar to’plami halqa bo’ladi.
ISBOTI. Ikkita ko’phadning yig’indisi va ko’paytmasi yana ko’phad ekanligini biz yuqorida ko’rib o’tdik. Endi ko’phadlar to’plami uchun halqaning qolgan shartlari bajarilishini ko’rsatamiz. Haqiqatan,
1) agar va lar va ko’phadlarning koeffitsientlari bo’lsa, u holda
bo’lgani uchun

bo’ladi ya’ni ko’phadlarni qo’shish kommutativdir.
2)
(ko’paytirish amali kommutativdir).Ko’phadlarning koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo’lganligi hamda

bo’lgani uchun tenglik o’rinlidir

3) Ko’phadlarni ko’paytirish assotsiativdir, ya’ni

(2)
Bu tenglikni isbotlash uchun yana bir

ko’phadni olamiz. va mos ravishda va darajali bo’lganidan ko’phaddagi ning koeffitsienti

yig’indi orqali aniqlanadi.
ko’phaddagi ning koeffitsienti esa
yig’indi orqali aniqlanadi. Ularning tengligiga asosan (2) tenglik ham bajariladi.
4) Shuningdek
bo’ladi, ya’ni ko’phadlarni ko’paytirish qo’shish amaliga nisbatan distributivdir.
Bu tasdiqning to’g’riligi

tenglik o’rinli ekanidan kelib chiqadi. Chunki, bu tenglikning o’ng tomoni
ko’phadning oldidagi koeffitsientidan, chap tomoni esa ko’phadning oldidagi koeffitsientidan tuzilgan.
Demak koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo’lgan bir noma’lumli ko’phadlar to’plami halqa bo’lar ekan. Bu halqa odatda kabi belgilanadi.

Yuqoridagi xossalardan quyidagilar kelib chiqadi.

1. da bir noma’lumli bir necha ko’phadlar yig’indisi tushunchasini kiritish mumkin. Buning uchun induktiv metoddan foydalanamiz. Ya’ni halqada uchta ko’phadlar yig’indisi deganda biz ni tushunamiz.
To’rtta ko’phad yig’indisi ham aynan shu usulda beriladi. Umuman, n ta ko’phad yig’indisi tushunchasini ham qo’shishning assotsativligidan foydalanib kirita olamiz, ya’ni dastavval ta ko’phad yig’indisi ni aniqlab, uning yordamida n ta ko’phadning yig’indisi kabi aniqlanadi.
Yuqorida ko’rsatganimizdek, har bir hadni ko’phad deb qarash mumkin.Ko’phadlarni qo’shish assotsativ bo’lgani tufayli
ni noma’lumning darajalari pasayishi tartibida ham yozsa bo’laveradi.Bunday holda ko’phad almashtirish yordamida

ko’rinishni oladi.
dan olingan va lar hamda uchun bo’lgani va tenglikka binoan simvollarni biz noma’lumning darajalari deb qarashimiz mumkin.
Haqiqtan,


va hokazo.
Bulardan tashqari, butunlik sohasidan olingan istalgan elementni ( bo’lgani tufayli) nolinchi darajali ko’phad, ni esa ixtiyoriy ko’phad deb qarab, ko’phadlarni ko’paytirishga binoan
birhadni kabi yozish mumkin. Ko’paytirish da kommutativ bo’lgani tufayli shart ham bajariladi.
Demak koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo’lgan noma’lumli ko’phadlar to’plami kommutativ halqa ekan.