Universiteti Matematika va informatika fakulteti

Bir tomonlama uzluksizlik. Bir o`zgaruvchili funksiyaning uzilish nuqtalari.

Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya argumentning x ≤ x<sub>0</sub> (x ≥ x<sub>0</sub>) qiymatlarida aniqlangan bo`lsin.

Agar
lim f (x)  f (x₀ )
xx ₀  0
( lim f (x)  f (x₀ ) )
xx ₀  0

munosabat bajarilsa, f (x) funksiya x₀ nuqtada chapdan (o`ngdan) uzluksiz
deyiladi.


_ 1

Masalan,
_{f (x) } ^2 ^x , x  0,


^0, x  0,
funksiya 0 nuqtada chapdan uzluksiz, chunki,

limf (x) 

x0
1

lim2 ^x x0

 0  f (0) .

y = f (x) funksiya [a; b] kesmaning har bir ichki nuqtasida uzluksiz bo`lib, a nuqtada o`ngdan va b nuqtada chapdan uzluksiz bo`lgandagina [a; b] kesmada uzluksiz bo`ladi.
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning x₀ nuqtaning o`zida aniqlangan bo`li-
shi shart emas. Agar f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo`lmasa, funksiya x<sub>0</sub> nuqtada uzilgan yoki x<sub>0</sub> nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi.
y = f (x) funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtada chapdan va o`ngdan limitlari mavjud bo`lib, o`zaro teng bo`lmasa, ya`ni

lim f (x)  f (x₀  0)  f (x₀  0) 
xx ₀ 0
lim f (x)
xx ₀ 0

u holda x ₀ nuqta funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan,
f (x) 
¹ funksiya x₀ = 0 nuqtada birinchi tur uzilishga ega,

1
1  2 ^x

chunki
limf (x) 1  0 
x0
limf (x)
x0
(2 – rasm).

Agar x₀ nuqtada funksiyaning chapdan va o`ngdan limitlari f (x<sub>0</sub> – 0) va f (x<sub>0</sub> + 0) lar o`zaro teng bo`lib, funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtada erisha-digan qiymati f (x<sub>0</sub>) dan farq qilsa, unda x<sub>0</sub> nuqta uzliksizlikni tiklash mumk in bo`lgan uzilish nuqtasi deb ataladi (3 – rasm).

y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan yoki o`ngdan limitlarining biri mavjud bo`lmasa (xususan, cheksiz bo`lsa), u holda x₀ nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

x

2-rasm. 3-rasm.

Masalan,
f (+0) =∞.

1

f (x)  2 ^x

funksiya x₀ = 0 da ikkinchi tur uzilishga ega, chunki

Bir necha o`zgaruvchili funksiyalar uzilish nuqtalaridan tashqari, uzilish chiziqlari, sirtlari va hokazolarga ega bo`lishlari mumkin.

Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali

Hosila haqida tushuncha. Funksiya differensiali
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin.
f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δy = Δf (x) ning argument orttirmasi Δx ga nisbatining, Δx

nolga intilgandagi chekli limitiga aytiladi va f (x), y, y_x, ifodalarning biri orqali yoziladi.
df (x) _, dy
^dx dx

Ta`rifga ko`ra,
f '(x) 
lim
y _
lim
f (x  x)  f (x) _.

^x0 x ^x0 x

Agar f (x) funksiya x nuqtada uzluksiz bo`lib,

lim
y _{ }

(yoki - ∞)

^x0 x
bo`lsa, u holda f (x) funksiya x nuqtada cheksiz hosilaga ega de-yiladi va
f (x) = ∞ (yoki - ∞) shaklda yoziladi.
Chekli yoki cheksizligidan qat`i nazar,

f '_ (x) 

lim
x0

f (x  x)  f (x)
x
va ^{f '}_ ^{(x) }

lim
x0

f (x  x)  f (x)
x

limitlarga, mos ravishda, f (x) funksiyaning x nuqtada chapdan va o`ngdan hosilalari deyiladi.

f (x) funksiyaning x nuqtada bir tomonlama, chapdan
f '_ (x)
va o`ngdan

f '_ (x) ^{hosilalari mavjud bo`lib, o`zaro teng bo`lgandagina, funksiya x nuqtada}

hosilaga ega bo`ladi va
f '(x)  f '_ (x)  f '_ (x) ^.

Berilgan f (x) funksiyaning hosilasi
differensiallash deb ataladi.
f '(x)
ni topish amaliga funk-siyani

Masalan: 1) y = x³ funksiya har qanday haqiqiy x da chekli hosilaga ega, chunki

y'(x) 
lim
x0
(x  x)³  x³
x
 lim
x0
3x ²x  3x(x)²  (x)³ _
x

^{lim [3x2  3xx  (x)2 ]  3x2} .
x0
Shunday qilib, (x³) = 3x² (x є R).

2. 
   y  funksiya x = 0 nuqtada cheksiz hosilaga ega:
   

y'(0) 
lim
³ 0  x  0 _
lim
^{1  }.

^x0 x ^{x0 3} _(x)²

2. 
   y = | x | funksiya esa x = 0 nuqtada har ikki bir tomonlama hosilalari
   

y'_ (0) 

lim
_ex

^{ 1  1};

y'_ (0) 

lim
_ex

^{ 1}  1

mavjud bo`lishiga

^x0 x ^x0 x

qaramasdan, hosilaga ega emas, chunki
y'_ (0) ≠
y'_ (0).

Erkli o`zgaruvchi yoki argument x ning differensiali deb, uning

orttirmasi Δx ga aytiladi va dx orqali belgilanadi, ya`ni dx = Δx.
Agar y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi Δy = f (x + Δx) - f (x) orttirmasi, Δy = A(x)dx + α(dx) ko`rinishda tasvirlansa, bu yerda A(x) – o`zgaruvchi, dx → 0 da α(dx) = 0(dx), u holda f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.
Masalan, y = x<sup>3</sup> funksiya ixtiyoriy x nuqtada differensiallanuvchi, chunki Δy = (x + Δx)<sup>3</sup> - x<sup>3</sup> = 3x<sup>2</sup>dx + 3x(Δx)<sup>2</sup> + (Δx)<sup>3</sup> = 3x<sup>2</sup> Δx + α(dx).
y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli differensiali deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δy ning dx ga nisbatan bosh chiziqli qismi A(x)dx ga aytiladi va dy yoki df (x) yozuv bilan belgilanadi. Ta`rifga binoan, dy = A(x)dx va Δy = dy + α(dx).
Agar f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksizdir. Funksiyaning nuqtada uzluksizligi uning differensiallanuvchanligining zaruriy sharti hisoblanadi, ammo yetarli emas. Masalan, yuqoridagi misolimizda, y = | x | funksiya x = 0 nuqtada uzluksiz bo`lgani bilan differensiallanuvchi emas.
y = f (x) funksiyaning x nuqtada chekli f (x) hosilasining mavjudligi, f (x) funksiya shu nuqtada differensiallanuvchanligining yetarli shartidir. Ushbu holda, A(x) = f (x) va dy = f (x)dx tengliklar o`rinli.
Masalan, y = x<sup>3</sup> funksiyaning ixtiyoriy x є R nuqtadagi differensiali dy =(x<sup>3</sup>) dx = 3x<sup>2</sup> dx.
Agar Δy = dy + 0(Δx) tenglikda Δx yetarlicha kichik bo`lsa, taq-ribiy hisoblarda qo`llaniladigan Δy ≈ dy yoki f (x + Δx) ≈ f (x) + f (x)dx formulalarni olamiz.
Masalan, taqribiy hisoblash formulasini qo`llab, ni hisoblash talab


etilsin. y  funksiya uchun taqribiy hisoblash formulasi

  ¹³ x² x
3


ko`rinishda yoziladi. Natijada,


 ¹³ 125² (1)  5  ¹
3 75


 4 ^{74 .}
75

Agar f (x) funksiya biror-bir (a; b) oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo`lsa, shu oraliqda differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bundan tashqari, agarda f (x) ushbu oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda funksiya oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi deb yuritiladi.

Hosila va differensialning geometrik va fizik ma`nolari.

y = f (x) funksiya x₀ nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda grafigi chizilgan bo`lsin.
y = f (x) funksiya grafigining M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>; f (x<sub>0</sub>) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma deb, M₀M₁ kesuvchining M₁(x₀ + Δx; f (x₀ + Δx) ) nuqta grafik bo`ylab M₀(x₀; f (x₀) ) nuqtaga ixtiyoriy ravishda intilgandagi limit holatiga aytiladi

(rasmga qarang). M₀M₁ kesuvchining burchak koeffitsienti
tg  ^y
x
ga teng

bo`lib, uning Δx nolga intilgandagi limiti, bir tomondan urinma burchak koeffitsienti k = tg α ga teng bo`lsa, ikkinchi tomondan hosila ta`rifiga ko`ra, y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi f (x₀) ga teng:

k  tg 
lim
x0
^{y  f '(x )} .
x ⁰

x

Bundan esa, birinchi tartibli hosilaning geometrik ma`nosi kelib chi-qadi. y = f (x) funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi f (x<sub>0</sub>) hosilasi, funksiya grafigining x<sub>0</sub> abssissali nuqtasiga o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng: f (x₀) = k.

Hosilaning geometrik ma`nosidan foydalanib, y = f (x) funksiya grafigining M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>; f (x<sub>0</sub>) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma va normal teng-lamalari, mos ravishda, quyidagicha yozilishi mumkin:

y – f (x₀) = f (x₀)(x - x₀) va y - f (x₀) = -
1

f '(x₀ )

(x – x₀).

Masalan, y  funksiya grafigining x₀ = 1 abssissali nuqtasiga o`tkazilgan

urinma tenglamasi:


y  ³ 1  ¹³ 1² (x 1)
3
yoki
y 1  ¹ (x 1) 3

y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi birinchi tartibli differensiali du esa, kattalik jihatdan, funksiya grafigining M₀(x₀; f (x₀) ) nuqtasiga o`t-kazilgan urinmasining x<sub>0</sub> nuqta x<sub>0</sub> + Δx nuqtaga o`tganda mos ordinata orttirmasiga teng Rasmdan, agarda Δx yetarlicha kichik bo`lganda, taq-ribiy tenglik Δy ≈ dy ning o`rinli ekanligini uqish qiyin emas.
y = f (x) funksiya x nuqtada chekli f (x) hosilaga ega bo`lsa, uni shu nuqtada erksiz o`zgaruvchi y ning erkli o`zgaruvchi x ga nisbatan o`zgarish tezligi sifatida talqin qilish mumkin. Funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirilishi esa, erksiz o`zgaruvchining o`zga-rishini argumentni ng kichik o`zgarishiga nisbatan chiziqli jarayon sifati-da hisoblash imkonini beradi. Masalan, moddiy nuqtaning to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qonuni S = S(t) funksiya bilan berilgan bo`lsin. U holda, ixtiyoriy t vaqt onidagi v oniy tezlik kattaligi harakat qonuni-dan vaqt bo`yicha olingan birinchi tartibli hosila qiymatiga teng: v(t) = S(t). dS = v(t) · dt differensial esa, moddiy nuqta t va

t + dt vaqt onlari oralig`ida t momentdagi oniy v tezligi bilan tekis harakat qilganda bosib o`tishi mumkin bo`lgan masofani aniqlaydi.