Universiteti Matematika va informatika fakulteti

Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqi-da tushuncha.

V₁  D(y) nuqtalar to`plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V<sub>1</sub> da
erishadigan qiymatlari to`plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo`lsa,

funksiya V₁ da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.

y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V₁ nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
V₁  D(y) nuqtalar to`plamida ham quyidan va ham yuqoridan che- garalangan funksiyaga, V<sub>1</sub> to`plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V₁ = D(y) bo`lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to`plami chegaralangan sonlar to`plamidan iborat bo`ladi.
Agar y = f (M) funksiya V₁ to`plamda yuqoridan (quyidan)
chegaralanmagan bo`lsa, V₁ to`plamga tegishli {M_k} nuqtalar ketma-ketligi

mavjudki,
lim f (M_k ) 
k
( lim f (M_k )  ) munosabat o`rinlidir.
k

Misollar:

1. 
   bir o`zgaruvchili y = x² funksiya aniqlanish sohasi R₁ da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);
   
2. 
   ikki o`zgaruvchili y  funksiya o`z aniqlanish sohasi
   

D(y) = {M(x₁; x₂) є R₂ | x ² + x ² ≤ 1} to`plamda chegaralangandir, chunki E(y)

1 2
= [0; 1].
y = f (M) funksiya qavariq V  R_n nuqtalar to`plamida aniqlangan bo`lsin. V qavariq to`plamga tegishli har qanday ikki M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>n</sub>) va
M<sub>2</sub>(u<sub>1</sub>; u<sub>2</sub>; …; u<sub>n</sub>) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun
f (P) ≤ α f (M<sub>1</sub>) + (1-α) f (M<sub>2</sub>) (f (P) ≥ α f (M<sub>1</sub>) + (1–α) f (M<sub>2</sub>)) tengsizliklar o`rinli bo`lsa, bu yerda R(α x<sub>1</sub> +(1–α)u<sub>1</sub>; α x<sub>2</sub> +(1–α)u<sub>2</sub>; …; αx<sub>n</sub> +(1-α)u<sub>n</sub>), u holda, y = f (M) funksiya V to`plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.
Masalan, y = x² funksiya R₁ da qavariq funksiyaga misol bo`lsa, y = -x<sup>2</sup> funksiya esa R<sub>1</sub> da botiq funksiyaga misol bo`ladi. n o`zgaruvchili chiziqli y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_nx_n funksiya R_n fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir.
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   –f (M) funksiya V to`plamda botiq bo`lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo`ladi.
   
2. 
   f₁(M) va f₂(M) funksiyalar V to`plamda qavariq bo`lsa, ularning
   

ixtiyoriy nomanfiy k₁ va k₂ koeffitsientli chiziqli k₁f₁(M) + k₂f₂(M) kombinatsiyasi V to`plamda qavariq bo`ladi.

3. 
   f (M) funksiya V to`plamda qavariq bo`lib, {M є V | f (M) ≤ b} to`plam bo`sh bo`lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to`plamning o`zi ham qavariq to`plamdir.
   

Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o`xshash xossalarga ega.