Universiteti Matematika va informatika fakulteti

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to`plamda aniqlangan bo`lib,

1
M₀ (x⁰;
x⁰; ...; x⁰ )
nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi va M<sub>0</sub> є V bo`lsin.

2

n
Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta`riflagan kabi, ikki teng kuchli ta`riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
Har bir hadi V to`plamga tegishli va uning M₀ quyuqlanish nuqtasiga

yaqinlashuvchi har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M₁), f (M₂), …, f (M_k), … sonli ketma-ketligi f (M₀) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning shunday bir δ atrofi S_δ(M₀) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M₀) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.

y = f (M) funksiyaning M₀ nuqtada uzluksizligi
lim f (M)
MM ₀
ning mavjudligini

va uning funksiyaning M₀ nuqtada erishadigan qiymati f (M₀) ga tengligini

anglatadi, ya`ni
lim f (M) f (M₀ ) _.
MM ₀

limf (M) f (M₀ )

1
MM₀
shart
limf (M)  f (M₀ ) 0
MM₀
shartga teng kuchli

ekanligini e`tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan
x₁  x⁰  x₁

2
, x₂  x⁰  x₂
, …,
x_n  x⁰
 x_n
almashtirishlar va ularga mos funksiyaning

n
M₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M₀) = Δf (M₀) almashtirish kiritsak, shartlar
limf (M₀)  0
x₁0
x ₂ 0
............
x_n 0
ko`rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.
Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta`riflarni bir o`zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.

Masalan:

1. 
   y = cos x funksiya har bir x₀ є R₁ nuqtada uzluksiz, chunki
   

limf (x₀ ) lim(cos(x₀  x)  cosx₀ ) 
x0 x0

 2 lim(sin ^x sin(x
₂ 0
 ^x))  0 2

x0

2. 
   y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_n x_n chiziqli funksiya har bir M(x₁; x₂; …; x_n) є R_n nuqtada uzluksiz va hokazo.
   

Uzluksiz funksiyalar xossalari. To`plamda uzluksizlik

Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilanxarakterlаnadi:

1. 
   f (M) va g(M) funksiyalar M₀ nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda M<sub>0</sub> nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo`ladi:
   
   1. 
      f (M) + g(M); b) k f (M) (k – o`zgarmas); c) f (M) · g(M);
      

_d) f (M)
g(M)
(g(M₀) ≠ 0).

2. 
   Agar f (M) funksiya V to`plamda aniqlangan bo`lib, M₀ є V nuqtada uzluksiz va f (M₀) > 0 (f (M₀) < 0) bo`lsa, u holda M<sub>0</sub> nuqtaning shunday bir δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) mavjudki, barcha M є S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V nuqtalar uchun f (M) > 0 (f (M) < 0) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
   

To`plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to`plamda uzluksiz funksiya deyiladi.

To`plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar f (M) funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda chegaralangandir.
   
2. 
   Agar f (M) funksiya ixcham V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, qo`shimcha quyidagi xossa o`rinli:
   
3. 
   Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa (f (a) · f (b) < 0), u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f (c) = 0 tenglik bajariladi (1- rasm).