Universiteti Matematika va informatika fakulteti

Misollar: Quyida berilgan funksiyalarning aniqlanish sohalarini to-ping va

tegishli fazoda tasvirlang. Funksiyalarning qiymatlar to`plamini aniqlang:


1) y = log₂(3–x), 2) y  ,

3) y = arccos x₁ + arccos x₂ + arccos x₃ .

1. 
   bir o`zgaruvchili y = log₂(3-x) funksiya aniqlanish sohasi D(y): 3–x > 0 tengsizlik yechimidan iborat. Shunday qilib, D(y) = (- ∞; 3) є R₁.
   
2. 
   Funksiya aniqlanish sohasi sonlar o`qida (- ∞; 3) ochiq nur ko`rinishida
   

tasvirlanadi:



^{0 3 R}1

Funksiya qiymatlari to`plami esa sonlar o`qidan iborat, ya`ni E(y) = R₁.

2. 
   funksiya ikki o`zgaruvchili bo`lib, uning aniqlanish sohasi D(y) = {M(x₁;
   

_x2

x₂) є R₂ | x₁ ≥
² }. Funksiya aniqlanish sohasi haqiqiy koordinatalar tekisligi R₂
4

da quyidagicha tasvirlanadi:
^х1

Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; ∞).

2. 
   berilgan uch o`zgaruvchili funksiya aniqlanish sohasi
   

D(y) = {M(x₁; x₂; x₃) є R₃ | -1≤ x₁≤ 1, -1≤ x₂ ≤ 1, -1 ≤ x₃ ≤ 1}.
Funksiya aniqlanish sohasi R₃ fazoda qirrasi 2 ga teng, simmetriya markazi koordinatalar boshida, yoqlari esa koordinatalar tekisliklariga parallel bo`lgan kubdan iborat:
<sup>х</sup>1
Funksiya qiymatlari to`plami E(y) = [0; 3π].

Bir o`zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Tes-kari funksiya.

V  R₁ nuqtalar to`plamida aniqlangan bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo`lgan barcha (x; f (x)), x є V juf- tliklarning x0y to`g`ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi.
R<sub>1</sub> fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to`plami
va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo`lsin.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o`rinli bo`lsa, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya V to`plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0u ordinata o`qiga nisbatan simmetrikdir.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o`rinli bo`lsa, y = f (x) V to`plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya gra-figi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
Masalan, juft natural darajali y = x<sup>2n</sup> (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo`lsa, toq natural darajali y = x^2n–1 (n є N) toq funksiyaga misoldir.
y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo`lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo`yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo`ladi.
Masalan, y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri

_{T } 2 0,25

 8 .

y = f (x) funksiya V  R₁ to`plamda aniqlangan bo`lib, uning biror-bir V₁ qism osti to`plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> nuqtalar uchun x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> munosabatdan f (x<sub>1</sub>)< f (x<sub>2</sub>) (f (x<sub>1</sub>)≤ f (x<sub>2</sub>)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V<sub>1</sub> to`plamda o`suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi.

Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V₁ to`plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> nuqtalar uchun x<sub>1</sub>< x<sub>2</sub> shartdan f (x<sub>1</sub>)>f (x<sub>2</sub>) (f (x<sub>1</sub>) ≥ f (x<sub>2</sub>) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V<sub>1</sub> to`plamda kamayuvchi (o`suvchi emas) deyiladi.
O`suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat`iy monoton funksiyalar
deyiladi.
Masalan, y = e<sup>x</sup> aniqlanish sohasi R<sub>1</sub> da qat`iy monoton o`suvchi funksiyaga misol bo`lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchi mas funksiyaga misol bo`la oladi.
y = f (x) funksiya D(y)  R<sub>1</sub> sohada aniqlangan bo`lib, Ye(u) uning qiymatlar to`plami bo`lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x₁, x₂ є D(y) lar qaralmasin, x₁ ≠ x₂ shart qanoatlantirilganda, f (x₁) ≠ f (x₂) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo`yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to`plamda

berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin.
Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to`plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo`lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o`taydi.
Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o`zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega.

Masalan, y = sin x funksiya
_ _; _



kesmada aniqlangan, qat`iy monoton

_ _{2 2} _

o`suvchi va uzluksiz bo`lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat`iy o`suvchi va uzluksiz x = arcsin y teskari funksiyasiga ega.

O`zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya
o`qi y = x to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.