Universiteti Matematika va informatika fakulteti

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha. Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to`plamda aniqlangan bo`lib,

1

2

n
M₀ (x⁰; x⁰; ...; x⁰ )
nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi bo`l-sin. Funksiya

limitining bir-biriga o`zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta`riflari mavjud.
Ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta`riflanadi: Har bir hadi V to`plamga tegishli va M₀ quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi M₀ nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M₁), f (M₂), …, f (M_k), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi va

b  lim
MM ₀
f (M)
yoki
b  lim

1
x₁ x ⁰

2
x ₂ x ⁰
.......... ..

n
x_n x ⁰
f (M)

ko`rinishda yoziladi.
Xususan, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x₀ songa intiluvchi argument qiymatlari x₁, x₂, …, x_k, … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda x_k є V, x_k ≠ x₀ (k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x₁), f (x₂), …, f (x_k), … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x)

funksiyaning x → x₀ dagi limiti deyiladi va ^{b }
lim
xx ₀
^{f (M)} ko`rinishda yoziladi.

Funksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta`riflanadi:

Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning δ atrofi S_δ(M₀) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V, M ≠ M₀ nuqtalar uchun |f (M) - b| < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning

M → M₀ dagi limiti deyiladi.
Xususiy holda, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo`lsaki, V to`plamga tegishli va 0 < |x - x<sub>0</sub>| < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har
bir x uchun |f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x<sub>0</sub> dagi limiti deyiladi (1-rasm).
Yuqorida keltirilgan ta`riflardan birini qo`llab, masalan,

1. 
   lim sinx  1^{, 2)}
   

lim
¹  0,2
yoki 3)
lim cos ¹

x ^
x ²  x ^2
x0 x

₂ x₁ 1 ^{1 2}
x ₂ 2
mavjud emasligini isbotlash mumkin.
^(δ=min(δ1^{, δ}2⁾⁾
x

1-rasm.

Quyida sanab o`tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta`riflar asosida isbotlanadi.

1. 
   ^{lim sinx  1}
   

(1-ajoyib limit asosiy shakli).

^x0 x

2. 
   ^{lim tgx}
   

^{ 1}. 3.
^{lim arcsinx  1}. 4.
_lim arctgx _{ 1.}

^x0 x
^x0 x
^x0 x

1

5. 
   ^{lim(1  x) x} x0
   

^{ e} . (2-ajoyib limit asosiy shakli).

5. 
   limlog ^{1 x}  log
   

^e . 7.
_lim lnx  1 _{ 1 .}

x0 ^a _x ^a
x0 _x

8. lim
x0
a^x  1 x
 lna . 9.

lim
x0

e^x  1 x
 1.

Limitga ega funksiyalar o`zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:

1. 
   y = f (M) funksiya M → M₀ da limitga ega bo`lsa, ushbu limit yagonadir;
   
2. 
   y = f (M) funksiya M → M₀ da chekli limitga ega bo`lsa, M <sub>0</sub> nuqtaning δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) mavjudki, S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V to`plamda f (M) funksiya chegaralangan bo`ladi.
   

2. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.

Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo`lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko`rsatish mumki n bo`lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlanti-ruvchi x lar uchun
|f (x) – b | < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi.
y


b _

x
a 0 К
2 – rasm.
y = f (x) funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta`riflanadi.

³  ¹ ^x

Masalan, 1)
lim _x  3, chunki x → + ∞ da _{ }
→ 0;

1 
x _{ 1 }
 ₅ 
 ⁵ 

 
³  ¹ ^x

2. 
   lim _x  0 , chunki x → - ∞ da _{ }
   

→ + ∞ ;

1 
x _{ 1 }
 ₅ 
 ⁵ 

 

2. 
   
   
   lim ^1 
   

x_{
1 }x

x



 e .

Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x<sub>0</sub> da aniqlangan bo`lib, x₀ nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo`lsin (3–rasm).
Har qanday ε > 0 son uchun δ<sub>1</sub> > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`l-saki, x₀– δ₁< x < x₀ shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f (x) –b₁| < ε tengsizlik bajarilsa, b₁ = f (x₀–0) son f (x) funksiyaning x→x₀ da chapdan limiti deyiladi

va f (x₀  0) 
lim f (x)
xx ₀ 0
ko`rinishda yoziladi.

y = f (x) funksiyaning x → x₀ da o`ngdan limiti ham shunga o`xshash

aniqlanadi va
f (x₀  0) 
lim f (x)
xx ₀  0
ko`rinishda yoziladi (3 – rasm ).

Masalan, 1)

lim

1
x0


¹  1; 2)

3. 
   rasm.
   

lim ¹
x0 ¹
x
 0 .

1  5^x 1  5 ^x

y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o`ngdan limitlarga ega bo`lib, f (x₀–0) = f (x₀+0) tenglik bajarilganda, mavjud bo`ladi.
Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat:

1. 
   Agar y = f (M) = C (C – o`zgarmas) bo`lsa, u holda
   

lim f (M)  C .
MM ₀

2. 
   lim f (M)
   

MM ₀
mavjud bo`lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun

lim
MM ₀
[kf (M)]  k
lim f (M)
MM ₀

3. 
   Agar
   

lim f (M) va
MM ₀
lim g(M)
MM ₀
mavjud bo`lsa,

1. 
   lim[f (M)  g(M)] ^{ham mavjud bo`ladi va}
   

MM₀

lim[f (M)  g(M)] 
MM₀
limf (M)
MM₀
limg(M).
MM₀

2. 
   lim[ f (M)  g(M)]
   

MM ₀
mavjud bo`ladi va

lim[ f (M)  g(M)] 
MM ₀
lim f (M)
MM ₀
 lim g(M)
MM ₀

3. 
   lim g(M)  0
   

o`rinli bo`lganda,
lim
f(M)
ham mavjud bo`ladi

va lim
MM ₀


f(M)
lim f(M)
_ MM _{0 .}
^MM ₀ g(M)

^MM ₀ g(M)
lim g(M)
MM ₀

4. 
   M₀ nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda
   

lim f (M) 
MM ₀
lim g(M)
MM ₀
tengsizlik ham o`rinli bo`ladi.

Limitlar haqidagi teoremalar bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya li-mitlarini hisoblashda qo`llaniladi.

Masalan,
lim
x₁ 1
1 _
x²  x²

lim
1

x² 

lim
_ 1

x² (1)²  2²
 0,2

x ₂ 2 ¹
.
² x₁ 1 ¹
x ₂ 2
x₁ 1 ²
x ₂ 2

Agar
lim (M)
MM₀
^{ 0} bo`lsa, α(M) funksiya M → M₀ da cheksiz kichik

funksiya deyiladi.

Xususan, agar
lim (x)  0
xx ₀
bo`lsa, bir o`zgaruvchili α(x) funksiya x → x₀

da cheksiz kichik deb ataladi.

Masalan, funksiyadir.
(x)  ^{x  1}
_x 2

funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik

Cheksiz kichik funksiya o`zining quyidagi xossalariga ega:

1. 
   M → M₀ da α(M) cheksiz kichik funksiya bo`lib, f (M) = b + α(M)
   

bo`lganda,
lim f (M)
MM ₀
mavjud va aynan b ga tengdir;

2. 
   chekli sondagi va har biri M → M₀ da cheksiz kichik funksiyalarning yig`indisi yoki ko`paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir.
   
3. 
   M → M₀ da cheksiz kichik funksiyaning, M₀ nuqtaning biror atrofida chegaralangan funksiyaga ko`paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir.
   

Agar
lim (M)  
MM ₀
(yoki - ∞) bo`lsa, γ(M) funksiya M → M₀ da

cheksiz katta funksiya deyiladi.

Xususan, agar
lim (x)  
x x ₀
(yoki - ∞) bo`lsa, γ(x) funksiya x → x₀ da

cheksiz katta bir o`zgaruvchili funksiya deb ataladi.

Masalan,
(x)  ^{x  1}
_x2

funksiya x → 0 da cheksiz kattadir.

Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Funksiyalarni taqqos-lash.

Bir o`zgaruvchili f (x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib, x ≠ x₀ da f (x) ≠ 0,

g(x) ≠ 0 va
^{lim f (x)  l} mavjud bo`lsin. U holda, quyidagi h

^xx ₀ g(x)
hollarning biri o`rinli bo`ladi:

1. 
   Agar l ≠ 0 va l ≠ ∞ bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x<sub>0</sub> da teng tartibli funksiyalar deyilib, f (x) = 0<sup>*</sup>(g(x)) ko`rinishda yoziladi;
   
2. 
   
   dal
   
   S
   Agar l = 1 bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x₀ da ekvivalent yoki teng kuchli deyilib, f (x) g(x) yozuvda ifo anadi;
   

3. 
   Agar l = 0 bo`lsa, f (x) funksiya x → x₀ da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori tartibli kichik deyiladi va f (x) = o(g(x)) yozuvda yoziladi;
   
4. 
   Agarda l = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o(f (x)).
   

Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki
_lim tg2x _ 2 _.

2. 
   x → 0 da x³
   

= o(x²), chunki


_x3

2
lim
x0 _x
 0 .
^x0 5x 5

2. 
   x → ∞ da x²
   

= o(x³), chunki
_x 2

3
lim
x _x

 0 .

2. 
   
   S
   x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki
   

lim
tg2x

1^.

^x0 sin2x
Agar x → x₀ da α(x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli:

α

S

S

S
1. sin α(x) α(x); 2. tg α(x) α(x); 3. arcsin α(x) (x).

S

S
4. arctg α(x) α(x); 5. log_a [1 + α(x)] α(x) log_ae.

)

S

S

S
6. ln[1 + α(x)] α(x); 7. 1 – cos α(x

1

S

S
8. a^α(x) - 1 α(x) lna; 9. e^α(x) - α(x).

S
10. [1 + α(x)]ⁿ - 1 n α(x); 11.
² (x) _.
2



S
 1
(x) _.
n

Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisob-lashda foydalanish maqsadga muvofiq.

Masalan,
ln(1  x³ )
lim 
_x0 (1  cosx)arctgx
lim ^x

3
x0 ^{x 2}
x
2
 2 .