Mavzu: Ikki funksiya ko’paytmasining yuqori tartibli hosilasi

Muallif:Mirzayev Sardorbek

Mavzu:Ikki funksiya ko’paytmasining yuqori tartibli hosilasi
Reja:
1.Funksiya hosilasi haqida tushuncha
2.Hosilaning xossalari va ikki
funksiya ko’paytmasining hosilasi
3.Ikki funksiya ko’paytmasining
yuqori tartibli hosilasi
Funksiya hosilasi tushunchasi
Ta’rif
Agar
Limit mavjud bo’lsa bu limit y=f(x) funksiyaning
nuqtadagi hosilasi deyiladi.
Agar limit chekli bo’lsa hosila chekli deyiladi.
Agar limit cheksiz bo’lsa hosila cheksiz deyiladi.
Eslatma:
Funksiyaning tayin nuqtadagi chekli hosilasi sonni ifodalaydi.
Agar(a;b) oraliqning har bir x nuqtasidafunksiyaning chekli hosilasi
Mavjud bo’lsa hosila x ning funksiyasiga aylanadi.
f(x) =
Funksiyaning =2 nuqtadagi hosilasi topilsin: Ta’rifdan foydalanib topamiz.Ravshanki,funksiyaning nuqtadagi orttirmasi
4=
=4*
==
f=4.
Misol:
Hosila hisoblash qoidalari.
Aytaylik f(x) va g(x)funksiyalar (a:b)da berilgan bo’lib x
nuqtada f’(x) va g’(x) hosillarga ega bo’lsin
Unda quyidagilar o’rinli bo’ladi.
1.Ixtiyoriy o’zgarmas c dan y=c*f(x) funksiya hosilasiga ega
bo’ladi y’=(c*f(x))’=c*f’(x)
2.Funksiyalar yig’indisi y=f(x)+g(x) funksiya hosilasi
quyidagicha y’=(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)
3.Funksiyalar ko’paytmasi y=f(x)*g(x) funksiya hosilasi
quyidagicha y’=(f(x)+g(x))’=f’(x)*g(x)+g’(x)*f(x)
4.Funksiyaning nisbati y=funksiya g(x)
y’=()’= hosilaga ega bo’ladi.
f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo’lsa F(x) funksiya
formulasidagi x ning o’rniga g(x) ni qo’ysak f(g(x)) murakkab
funksiya hosil bo’ladi.
Misol:
y=
y=)
y=(6*x+9)
y=
ko’rinishdagi funksiyalar murakkab funksiyalarga misol boladi
Misollar:

• y=
• y=x+=(x)’+()’=1-
• y=

y’= (

Funksiyaning yuqori tartibli hosilasi.
Faraz qilaylik,f(x) funksiya (a,b) ,
da f’(x) hosilaga ega bo’lsin.Bu f’(x) funksiyani
g(x) orqali belgilaymiz:
g(x)=f’(x) (x).
1-ta’rif.Agar (a,b) nuqtada g(x) funksiya g’(x) hosilaga ega
bo’lsa,bu hosila f(x) funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli
hosilasi deyiladi va f’’() yoki kabi belgilanadi.
Xuddi shunga o’xshash,f(x) ning 3-tartibli hosilasi f’’’(x),
Umuman, f(x)funksiyaning n-tartibli hosilasi(x) ning hosilasi
f(x) funksiyaning (n+1)-tartibli hosilasi deyiladi.
Odatda,f(x) funksiyaning f’’(x),f”’(x)-hosilalari uning yuqori
tartibli hosilalari deyiladi.Shuni ta’kidlash lozimki,f(x)
funksiyaning x dan- tartibli hosilasining mavjudligi bu
funksiyaning shu nuqta atrofida 1-,2-,….,(n-1)-tartibli
hosilalari mavjudliligi taqazo etadi.Ammo bu hosilalarning
mavjudliligidan n-tartibli hosila mavjudliligi,umuman aytganda
kelib chiqavermaydi.
Masalan,
f(x)=
Funksiyaning hosilasi f’(x)=bu funksiya x=0 nuqtada
hosilaga ega emas,ya’ni berilgan funksiyaning x=0 da birinchi
tartibli hosilasi mavjud,ikkinchi tartibli hosilasi esa mavjud
emas.
П
Misol
bo’ladi.
2-Misol f(x)=sinx bo’lsin.Bu funksiya uchun
(sinx)’=cosx=sin(x+)
(sinx)”=(cosx)’=-sinx=sin(x+2*
Umuman,
bo’ladi.
Shunga o’xshash,
cos
bo’ladi.
f(x)=
)’=a*
()’’=(a*)’’=a*(a+1)*
Umuman,
bo’ladi.
Xususan, f(x)= (x0) funksiya uchun
bo’lib undan
3-Misol.
;
;
1)
2)
bo’lishini topamiz.
Faraz qilaylik,f(x) va g(x) funksiyalar (a,b) da berilgan
bo’lib,x(a,b) da
hosilalarga ega bo’lsin
U holda:
Bo’ladi
Bu tasdiqlarning isbotini keltiramiz. Ravshanki,n=1 da
Ikkinchi munosabatimiz o’rinli bo’ladi.Aytaylik ikkinchi
munosabat no’rinli bo’ladi.
keyingi tenglikni hamda
.
Bo’lishini e’tiborga olib, topamiz:
Odatda ikkinchi fotmula Leybnis formulasi deyiladi.
Ushbu
y=
Funksiyaning n-tartibli hosilasi topilsin.
Leybnis formulasida y=cos2x, g(x)=
Unda bu formulaga ko’raayni paytda g(x)=
funksiya uchun k
bo’lishini e’tiborga olib topamiz:
Ravshanki
Demak
Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib,
nuqtada f’’(x) hosilaga ega bo’lsin.Ravshanki f(x)
funksiyaning hosilasi
df(x)=f’(x)
bo’lib, bunda dx=funksiya argumentining ixtiyoriy orttirmasi
2-Ta’rif f(x) funksiyaning xnuqtadagi differensiali df(x)
ning differensiali f(x) funksiya xnuqtadagi ikkinchi tartib
differensiali deyiladi va kabi belgilanadi.
=d(df(x))
Xuddi shunga o’xshash,f(x) funksiyaning 3-tartibli
4-tartiblisi va h.k.tartibidagi differensiallari bo’ladi.
Umuman f(x) funksiyaning n-tartibli differensiali

Aytaylik f(x) va g(x) funksiyalar (a,b) da berilgan bo’lib,
nuqtada n-tartibli differensiallarga ega bo’lsin.
U holda:

.

E’tiboringiz uchun
RAHMAT