Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

1.2. Metrik fazoga misollar.

1-misol. Haqiqiy sonlar to‘g‘ri chizig‘i: X=R. Bu to‘plamda x va y sonlar orasidagi masofa ρ(x,y)=|y-x| bo‘yicha hisoblanadi.

Tekshirish:

1*.

2*.

3*. .

Demak, yuqoridagi ρ(x,y)=|y-x| akslantirish metrika ekan. (R, ρ) juftlik esa metrik fazo tashkil qiladi.

2-misol. to’plamni olaylik. akslantirish quyidagicha aniqlansin:

Yuqoridagi akslantirishning metrika bo’lishini isbotlaylik.

Munosabatning ixtiyoriy k uchun manfiy emasligi ravshan. Agar bo’lsa , u holda bo’lib , ya’ni bo’ladi. Aksincha , ya’ni

bo’lsa, u holda yana

Dan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa - xossaning o’rinli ekanligini ko’rsatadi.

munosabatdan

bo’ladi.

Metrikaning 3-xossasini ushbu

tengsizlikka asoslanib isbotlaymiz, bunda lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Avvalo shu tengsizlikning to’g’riligini ko’rsatamiz. Ravshanki, uchun

tengsizlik o’rinli. Bundan x ga nisbatan kvadrat uchhadning manfiy emasligi

kelib chiqadi. Demak, bu kvadrat uchhad ikkita turli haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi. Binobarin, uning diskriminanti

bo’lishi kerak. Bundan esa

bo’lib,

bo’ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

Bo’lishi kelib chiqadi. Odatda tengsizlikni Koshi- Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.

Ixtiyoriy

nuqtalarni olib , ular orasidagi masofani formuladan foydalanib topamiz:

Endi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi da

deb olsak , unda

bo’lib,

Bo’ladi. Yuqoridagi munosabatlarni e’tiborga olib, quyidagilarni topamiz:

ρ(x,z) ≤ ρ(x,y)+ ρ(y,z).

Bu esa xossani isbotlaydi. Demak ρ masofani , esa metrik fazo tashkil qilar ekan.