Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

3-misol. fazoning va ) nuqtalari orasidagi masofa quyidagicha

aniqlansin. akslantirishning metrika ekanligini tekshiraylik.

Tekshirish: Yuqoridagi munosabat ixtiyoriy uchun manfiy emasligi ravshan. bo’lsin, u holda bo’lib , ya’ni bo’ladi. Aksincha , ya’ni bo’lsa, u holda yana

Munosabatdan bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa - xossaning o’rinli ekanligini ko’rsatadi.

Demak, simmetriklik aksiomasi o’rinli ekan.

Uchburchak tengsizligining o’rinli ekanligini tekshiraylik.

Demak, ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ ρ(z,y) o’rinli ekan . metrik fazo tashkil qilar ekan. Bu metrik fazo kabi belgilanadi.

4-misol. fazoning va ) nuqtalari orasidagi masofa quyidagicha

kabi aniqlansa, u metrik fazo bo‘ladi va orqali belgilanadi.

Tekshirish. Yuqoridagi aniqlangan masofa uchun metrika aksiomalarining o’rinli ekanligini tekshiraylik.

1. 
   ekanligi ravshan . bo’lsin, u holda ). Aksincha , ) bo’lsin. U holda bo’ladi, bundan esa
   

kelib chiqadi. Bu esa

2. 
   . Demak , simmetriklik aksiomasi ham o’rinli.
   
3. 
   
   

Demak, akslantirish da metrika tashkil etar ekan.

5-misol. − [a;b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to‘plamida metrikani quyidagicha kiritamiz: . Bu funksiyaning metrika bo‘lishini tekshirish qiyin emas.

Ixtiyoriy funksiyalar uchun va kelib chiqadi va aksincha.

Isbot. uchun quyidagi ikki holat bo’lishi mumkin.

1. 
   bo’lsin. U holda bo’lib , bundan esa . Demak , bo’ladi.
   
2. 
   bo’lsin. U holda bo’lib, bo’ladi. Demak, ekanligi kelib chiqadi.
   

uchun

Simmetriklik aksiomasi o’rinli.

Ixtiyoriy t∈[a;b] nuqta va x(t), y(t), z(t) funksiyalar uchun ushbu munosabat bajariladi:

|x(t)- y(t)| = |( x(t)- z(t)) + ( z(t)- y(t))| ≤ | x(t)- z(t)|+| z(t)- y(t)|.

Bu tengsizlikdan

bo‘lishi kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlik

ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ρ(z,y)

ekanligini bildiradi.