Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

6-misol . da akslantirishni quyidagicha aniqlaylik:

Bu ning shartlarni bajarishini ko’rsatamiz.

Munosabatdan har doim ekani ko’rinadi. Agar da bo’lsa, undan

Bo’lishi kelib chiqadi. Aksincha , agar

bo’lsa, undan uchun bo’lishi kelib chiqadi. Shuni isbotlaymiz.

Teskaridan faraz qilaylik. Biror nuqtada , ya’ni, masalan , bo’lsin. U holda uzluksiz funksiyaning lokal xossasiga ko’ra nuqtaning yetarlicha kichik topiladiki, uchun bo’ladi. U holda

Bo’lib , bu deb olinishiga zid bo’lib qoladi. Demak, uchun bo’ladi.

Ikkinchidan, bo’ladi, chunki

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi

dan foydalanib quyidagini topamiz:

Demak,

bo’ladi. Bu tengsizlikda

Deb olinsa , u holda

Ya’ni

Bo’lishi kelib chiqadi. Demak, masofa esa metrik fazo bo’ladi.

7-misol. , akslantirishning metrika shartlarini qanoatlantirishini tekshiring. Bu yerda nolga yaqinlashuvchi barcha ketma-ketliklar to’plami.

Tekshirish. ketma-ketliklar nolga yaqinlashuvchi bo’lganligi uchun ular chegaralangan bo’ladi. Shuning uchun barcha

larda chekli bo’ladi. Ixtiyoriy da ekanligidan ekanligi kelib chiqadi. Endi

bo’lsin, u holda barcha larda

bo’ladi. Bu yerdan tenglikka kelamiz. Agar bo’lsa , u holda bo’ladi. Demak, 1- shart bajarilar ekan. tenglikdan 2-shartning bajarilishi kelib chiqadi. Uchburchak tengsizligi

tengsizliklardan kelib chiqadi. Demak , berilgan akslantirish uchun metrikaning barcha shartlari bajariladi.

8-misol. -barcha yaqinlashuvchi ketma- ketliklar to’plami. akslantirish quyidagidek berilgan bo’lsin:



bo’lishi ravshandir. Agar bo’lsa, undan uchun kelib chiqadi. Aksincha, agar uchun bo’lsa, undan kelib chiqadi. Demak,



chunki



bo’lsin. Absolyut qiymat xossasiga ko’ra ushbu

Tengsizlik o’rinli ekani ravshan. Bundan esa

Ekanligi kelib chiqadi. Aniq yuqori chegara xossasiga ko’ra

Bo’ladi. Bundan ,

Demak, - masofa , metrik fazo.