Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Yechish. akslantirish metrikaning 1- va 2- shaertlarini qanoatlantiradi. Bu akslantirish uchun uchburchak tengsizligi o’rinli emasligini ko’rsatamiz. Buning uchun nuqtalarni olamiz. U holda bo’lib,

.

Demak, uchun uchburchak aksiomasi o’rinli emas.

1.3. Mashqlar.

1. Tekislikdagi A(x₁,y₁) va B(x₂,y₂) nuqtalar uchun ρ(A,B)= | kabi aniqlangan funksiya metrika bo‘ladimi?

2. To‘g‘ri chiziqda quyidagi a) ρ(x,y)= ; b) ρ(x,y)=|arctgx–arctgy| funksiyalarning qaysi biri metrika bo‘ladi?

3. Agar M={a,b,c} to‘plamda ρ(a,c)=ρ(c,a)=ρ(a,b)=ρ(c,b)=2, ρ(b,c)= ρ(b,a)=1 kabi aniqlangan ρ funksiya metrika bo‘ladimi? ρ uchburchak aksiomasini qanoatlantiradimi?

4. Agar M={a,b,c} to‘plamda ρ(a,b)=ρ(b,c)=1 shartni qanoatlantiruvchi ρ metrika berilgan bo‘lsa, u holda ρ(a,c) qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin?

5. Metrika aksiomalari quyidagi

1) ρ(x,y)=0 munosabat faqat x=y bo‘lganda bajariladi;

2) ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ ρ(y,z)

ikkita aksiomaga ekvivalent ekanligini isbotlang.