Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

3-teorema. to‘plamning ochiq bo‘lishi uchun uning to‘ldiruvchisi to‘plamning yopiq bo‘lishi zarur va kifoyadir.

Isboti. a) zarurligi. G ochiq bo‘lsin, u holda har bir nuqta

butunlay G da joylashgan atrofga ega. Demak, bu atrof F bilan kesishmaydi. Bundan, ravshanki, F ning birorta ham urinish nuqtasi G ga

kirmaydi, ya’ni F yopiq to‘plam.

b) kifoyaligi. yopiq bo‘lsin, u holda G dan olingan ixtiyoriy

nuqta F bilan kesishmaydigan, demak G da butunlay joylashgan atrofga

ega, ya’ni G - ochiq to‘plam.

Natija. bo‘sh to‘plam va fazo ham ochiq, ham yopiq

to‘plamlardir.

Shuni ham aytib o‘tish kerakki, metrik fazoda ochiq ham bo‘lmagan,

yopiq ham bo‘lmagan to‘plamlar mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan,

haqiqiy sonlar metrik fazosida A=[a,b) to‘plamni

olamiz. Ravshanki, A yopiq to‘plam emas, chunki to‘plam ochiq ham emas. Darhaqiqat, a nuqtaning hech qanday ε -atrofi (a-ε, a+ε)

A to‘plamda butunlay joylasha olmaydi. Demak, A to‘plam ochiq ham

emas, yopiq ham emas.

4-teorema. Soni ixtiyoriy bo‘lgan ochiq to‘plamlarning yig‘indisi va

soni chekli bo‘lgan ochiq to‘plamlarning ko‘paytmasi ochiq to‘plamlar

bo‘ladi. Teoremaning isbotini quyidagi

Tengliklardan foydalanib isbotlaymiz. X fazoda ochiq to’plam bo’lsin , u holda yopiq to’plam bo’ladi. Quyidagi

Tenglikka va 2-teoremaga asosan chekli sondagi yopiq to’plamlarning ko’paytmasi yana yopi to’plam bo’ladi. Ya’ni -yopiq to’plam. Demak , bu to’plamning to’ldiruvchisi - to’plamning ochiq ekanligini bildiradi. Shartga ko’ra ochiq to’plam edi. Demak chekli sondagi ochiq to’plamlarning ko’paytmasi yana ochiq to’plam bo’lar ekan. Endi ixtiyoriy sondagi ochiq to’plamlarning yig’indisi yana ochiq to’plam bo’lishini ko’rsataylik. -ochiq to’plam bo’lsin. U holda yopiq to’plam. Quyidagi

Tenglikka va 2- teoremaga asosan -yopiq to’plam. Demak,

yopiq to’plam , bundan esa to’plamning ochiq to’plam ekanligi kelib chiqadi. Shartga ko’ra -ochiq to’plam edi, demak ixtiyoriy sondagi ochiq to’plamlarning yig’indisi yana ochiq to’plam bo’lar ekan. Teorema isbotlandi.