Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

4-misol. metrik fazoning to‘laligini isbotlang.

Yechimi. fazodan olingan fundamental ketma-ketlik berilgan

bo‘lsin, bunda

Fundamental ketma-ketlikning ta’rifidan, uchun shunday

natural soni topilib, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi n,m

natural sonlari uchun

(4)

tengsizlik o‘rinli. Bundan har bir i soni uchun

bo‘lganligidan, har bir i uchun sonli ketma-ketlik fundamental.

Bundan u yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu ketma-ketlikning limitini bilan

belgilab, elementni hosil qilamiz.

Agar va munosabatlarning o‘rinliligi

ko‘rsatilsa, fazoning to‘laligi isbot etilgan bo‘ladi.

(4) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

bu yerda p ixtiyoriy natural son. Bundan ixtiyoriy p uchun

yoki p bilan m ni tayinlab, n bo‘yicha limitga o‘tilsa, ushbu

tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy p uchun o‘rinli, shuning

uchun bunda p bo‘yicha limitga o‘tish mumkin, u holda

(5)
Bundan va munosabatdan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:

Demak, . So‘ngra ixtiyoriy bo‘lganligi uchun (5) dan