Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

3-misol. metrik fazoning to‘la ekanligini isbotlang.

Yechimi. fazoda fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin,

bunda Fundamental ketma-ketlikning ta’rifidan, uchun natural son topilib, bo‘lganda

qanoatlantiruvchi n,m natural sonlari

(2)

tengsizlikni qanoatlantiradi. Ixtiyoriy j uchun

bo‘lgani uchun, har bir j da sonli ketma-ketlik fundamental,

ya’ni yaqinlashuvchi. bo‘lsin. va

ekanligini ko’rsatamiz.

(2) tengsizlikdan ixtiyoriy k soni va natural sonlari uchun

tengsizligining o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu tengsizlikda dastlab da, keyin da limitga o‘tib bo‘lganda

(3)
tengsizlikiga ega bo‘lamiz. qatorning yaqinlashuvchiligidan qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi, ya’ni . (3) tengsizlikdan ekanligi kelib chiqadi.