Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Ochiq va yopiq to’plamlar haqidagi teoremalar.

2-Teorema: a) soni chekli yopiq to‘plamlarning yig‘indisi yana

yopiqdir;

b) soni ixtiyoriy bo‘lgan yopiq to‘plamlarning ko‘paytmasi yopiqdir.
Isboti.

a) bu xossani ikki yopiq to‘plam uchun isbot qilinishi kifoya.

F1, F2 yopiq to‘plamlar bo‘lsin, ya’ni

u holda

ga ko’ra

o’rinli bo’ladi. Ta’rifga ko’ra ham yana yopiq to’plam bo’ladi.

b) yopiq to‘plamlar sistemasi va x ular ko‘paytmasining,

ya’ni

to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lsin. U holda x ning

ixtiyoriy ε-atrofida F ning kamida bitta, masalan, elementi mavjud va,

demak, α ning hamma qiymatlari uchun . Demak, ixtiyoriy α uchun

Demak, F yopiq to‘plam.