Funksiya limiti va unga bog’liq asosiy tushunchalar Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

Funksiya limiti va unga bog’liq asosiy tushunchalar
Reja:
I. Kirish.
II. Asosiy qism
2.1. Funksiya limiti ta’riflari va bir tomonlama limitlar
2.2. Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalarning xossalari
2.3. Monoton funksiya limiti, Koshi teoramasi
2.4. Chekli kichik va cheksiz katta funksiyalar va funksiyalarni taqqoslash
2.5. Funksiya limitini topishga doir misollar
III. Xulosa
IV. Foydalanilgan adabiyotlar

1. Funksiya limiti ta’riflari va bir tomonlama limitlar

o’rgandik.Endi argumenti haqiqiy son bo’lgan funksiya limitini qaraymiz. Avvalo s Biz 3-bobda natural argumentli funksiya – sonlar ketma-ketligi va uning limitini onlar to’plamining nuqtasi tushunchasi bilan tanishamiz.

1. 
   To’plamning limit nuqtasi. Malumki,
   

(a)={x: x , a- < x < a+ }
to’plam a nuqtaning atrofi ( -atrofi) deb atalar edi. Shartga o’xshash, ushbu
(a)={x: x , a < x < a+ } (1.1)
to’plam a nuqtaning o’ng atrofi
(a)={x: x , a- < x < a} (1.2)
to’plam a nuqtaning chap tomoni,
( )={x: x , |x| > c}, (1.3)
( )={x: x ,|x| > c}, (1.4)
( )={x: x ,|x| < -c}, (1.5)
to’plamlar esa mos ravishda , + va - nuqtalarning atrofi deb ataladi.
(1.1)-(1.5) larda va c lar ixtiyoriy musbat haqiqiy sonlar.
X-biror haqiqiy sonlar to’plami, a-biror nuqta bo’lsin.
1-tarif. Agar a nuqtaning har bir atrofida X to’plamning a dan farqli kamida bitta nuqtasi bo’lsa, a nuqta X to’plamning limit nuqtasi deb ataladi.
Demak a nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lsa >0 son uchun
{ (a)\{a}} X munosabat o’rinli bo’ladi
Misollar. 1. Ushbu [0,1] = {x: x , 0 x 1} to’plamning har bir nuqtasi shu to’plamning limit nuqtasi bo’ladi.

2. 
   Ushbu N = {1, 2, 3, ..... ,} to’plam limit nuqtaga ega emas.
   
3. 
   Ushbu (0,1)={x: x , 0 < x < 1} to’plamning har bir nuqtasi shu to’plamning limit nuqtasi bo’ladi va yana x=0 , x=1 nuqtalar ham (0,1) uchun limit nuqtalardir.
   
4. 
   F – [0,1] segment hamda 2 sonidan iborat to’plam bo’lsin, ya’ni F=[0,1] {2}. Bu to’plam uchun limit nuqta emas.
   

Yuqorida keltirilgan ta’rif va misollardan quyidagi natijalar chiqadi:
. X to’plamning limit nuqtasi shu to’plamga trgishli bo’lishi ham bo’lmasligi ham mumkin.
. Agar a nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lsa, a nuqtaning har bir atrofida
X to’plamning cheksiz ko’p nuqtalari bo’ladi. Buni isbotlaylik. Teskarisini faraz qilamiz. a nuqtaning biror (a) atrofida X to’plamning chekli sondagi , , .... , nuqtalari tegishli bo’lsin. U holda |a - |, |a - |, ... , |a - |va sonlarning eng kichigini deb olinsa, a nuqtaning (a) atrofida X to’plamning a dan farqli bitta ham nuqtasi bo’lmaydi.Bu esa a nuqta X to’plamning limit nuqtasi ekaniga ziddir. . Agar a nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lsa, X to’plam nuqtalaridan a ga intiluvchi { }, ( , a, n=1,2, ..)ketma-ketlik tuzish mumkin.Shuni kursataylik.Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi { } ni olib a nuqtaning (a)={x: x R, a- < x < a+ } (n=1,2, ..). atroflarini qaraylik. A nuqta X to’plamning limit nuqtasi ekanidan har bir (a)(n=1,2, ..) atrofida X to’plamning a dan farqli nuqtasi topiladi: (a)(n=1,2, ..).
Yuqoridagi -xossaga binoan, bu nuqtani , , ... , lardan farqli qilib olishimiz mumkin. Shunday qilib har bir n=1,2,3, .. uchun |{ -a|< bo’ladi. n da 0 ekanligidan son uchun shunday topiladiki da bo’ladi. Demak olinganda ham shunday topiladiki, uchun | -a| < tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu esa =a demakdir. Bu keltirilgan mulohazalardan ko’rinadiki bunda ketma-ketliklarniko’plab tuzish mumkin. 2-tarif. Agar a nuqtaning har bir o’ng (chap) atrofida X to’plamning a dan farqli kamida bitta nuqtasi bo’lsa, a nuqta X ning o’ng (chap) limit nuqtasi deyiladi. 3-tarif. Agar har bir atrofida X to’plamning kamida bitta nuqtasi bulsa, nuqta X to’plamning limit nuqtasi deyiladi.
, - nuqta larning limit nuqta bo’lishi ha yuqoridagi singari tariflanadi.
Masalan nuqta N={1, 2, 3, ... } to’plamning limit nuqtasi bo’ladi.