Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning

FUNKSIYA UZLUKSIZLIGI.

UZILISH NUQTALARI VA ULARNING TURLARI

Reja

1. 
   Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi
   
2. 
   Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi.
   
3. 
   Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi.
   
4. 
   Uzilish nuqtalari va ularning turlari.
   
5. 
   Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari.
   

1. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi

у  f (x)

funksiya

^x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan boʻlsin.

Agar funksiyaning boʻlsa, ya’ni

^x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga tеng

lim

xx₀

f (x) 

f (x₀ )

(4.1)

tenglik oʻrinli boʻlsa,

^{у  f (x)} funksiya

^x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

Demak, (4.1) formuladan quyidagi uchta shart oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:

1. 
   ^{у  f (x)}
   
2. 
   ^{у  f (x)}
   

funksiya funksiya

^x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan;

^x0 nuqtada limitga ega;

3. 
   ^{у  f (x)}
   

boʻladi.

funksiyaning

^x0 nuqtadagi limiti shu nuqtadagi qiymatiga teng

Bundan,
sin x
_lim sin x


lim

x x₀
f (x) 
f ( lim x) 

xx₀

f x₀ _.

Masalan,

lim e ^x x0

_{ e}^x0 x

^{ e1  e} .

Yuqoridagi ta’rifni kengaytirib quyidagicha yozish mumkin.

Agar

у  f (x)

funksiya

^x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib,

istalgan   0

son uchun shunday ^{      0}

son mavjud boʻlsaki,

x  x₀

^{ } shartni

qanoatlantiradigan istalgan ^х uchun

f x f x₀   

tеngsizlik oʻrinli boʻlsa,

у  f (x)

funksiya

^x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

Uzluksizlikning yana bir ta’rifini argument va funksiya orttirmasi tushunchalari yordamida ham berish mumkin.

у  f (x)

funksiya biror

(a,b)

oraliqda aniqlangan boʻlsin. Ixtiyoriy

x₀ (a,b)

nuqtani olamiz, unga funksiyaning

у₀ 

f (x₀ )

qiymati mos kеladi. Ixtiyoriy

x (a,b)

nuqta uchun

x  x₀

ayirma x argumеntning

^x0 nuqtadagi orttirmasi

dеyiladi va x bilan bеlgilanadi.

^{f x f x0 } ayirma esa ^{у  f (x)} funksiyaning argumеnt orttirmasi x

ga mos

orttirmasi, ya’ni

^{у  f (x)} funksiyaning

^x0 nuqtadagi orttirmasi dеyiladi va ^y

bilan

bеlgilanadi. Shunday qilib,

x 

^{x  x 0} ,

^{y  f x f x0 }.

Bundan,

^{x  x0  x} , u holda

Y

^{y  f x0  x f x0 }.

y₀+Δy y=f (x)

y₀

0 a x₀ x₀ + x b X

1-shakl.

x va ^y

orttirmalar musbat ham, manfiy ham boʻlishi mumkin.

x  x₀

shart

x  x₀  0

ga teng kuchli boʻlgani uchun (4.1)ni

lim y  0

x0

^{lim  f x f x0   0} kabi yoki

xx₀

(4.2)

kabi ifodalash mumkin. Bu esa, nuqtada uzluksizlikning orttirmalar boʻyicha ta’rifidan iboratdir.

Agar

^{у  f (x)} funksiya

^x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib,

argumеntning chеksiz kichik orttirmasiga funksiyaning chеksiz kichik orttirmasi

mos kеlsa, ya’ni

lim y  0

x0

boʻlsa, funksiya

^x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

1-misol.

у  x²

funksiya

^{x0  1} nuqtada uzluksizligini koʻrsating.

Yechish. (4.2) ni tekshiramiz,

^{y  f x0  x f x   f 1 x f 1  1 x 1  2  x  x} .



0
² 2 ²

lim y  lim 2  x  x  0 _.

Demak, ^{у  x2}

x0

funksiya

x0

^{x0  1} nuqtada uzluksiz ekan.

Funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari oʻzaro tеng boʻlganda, ya’ni

^{f (x0  0)  f (x0  0)} da va faqat shundagina funksiyaning limiti mavjudligi ma’lum.

Funksiyaning chap va oʻng limitlari ^x0 nuqtada mavjud va oʻzaro tеng boʻlib,

shu nuqtadagi qiymatiga teng boʻlsa, ^{у  f (x)} funksiya

ataladi:

^x0 nuqtada uzluksiz dеb

f (x₀  0) 

f x₀  

f (x₀  0)

(4.3)

2. Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi

Agar

у  f (x)

funksiya a; x₀ 

oraliqda aniqlangan va

lim

xx₀ 0

f (x) 

f (x₀ )

boʻlsa, u holda bu funksiya x₀ nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

Agar

у  f (x)

funksiya x₀;b

oraliqda aniqlangan va

lim

x x₀ 0

f (x) 

f (x₀ )

boʻlsa, u holda bu funksiya x₀ nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi.

Agar

у  f (x)

funksiya ixtiyoriy

x (a,b) da uzluksiz boʻlsa, u holda

funksiya shu

(a,b)

oraliqda uzluksiz deyiladi.

Agar

у  f (x)

funksiya

(a,b)

oraliqda uzluksiz boʻlib,

x  a

nuqtada oʻngdan

uzluksiz(

lim

xa 0

f (x)  f (a) ) va

x  b

nuqtada chapdan uzluksiz(

lim

xb0

f (x)  f (b) )

boʻlsa, u holda funksiya ^a,b

kesmada uzluksiz deyiladi.

3. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi

Tеorеma 1. Ikki uzluksiz funksiyalar yigʻindisi, koʻpaytmasi va boʻlinmasi yana uzluksiz funksiyalardir(bunda boʻlinma uchun maxrajidagi funksiya noldan farqli argument qiymatlaridan tashqari).

₁₎ lim  f (x)  x 

xx₀

f (x₀)  (x₀)

₂₎ lim  f (x) x 

xx₀

f (x₀) (x₀)

₃₎ lim

f (x) _

f (x₀ ) _,

(x )  0

^{x x0} (x)

(x₀ )

0
Tеorеma 2 Agar

u  (x)

funksiya

^x0 nuqtada uzluksiz,

^{у  f (u)} funksiya

esa

x₀

^{u0  x0 } nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda nuqtada uzluksiz funksiyadir, ya’ni

у  f (x)

murakkab funksiya ham

lim

x x₀

f x  f x₀ .

Tеorеma 3. Agar

у  f (x)

funksiya Ox oʻqining ^a,b

kesmasida qat’iy

monoton va uzluksiz boʻlsa, u holda unga teskari

y  (x)

funksiya ham mos

ravishda Oy oʻqining ^{c, d }

kesmasida monoton va uzluksiz boʻladi.

2-misol.

y  sin x

funksiya oʻzi aniqlangan barcha

x  R

nuqtalarda

uzluksizligini isbotlang.

Yeсhish.

^x0 nuqtani bеlgilaymiz va shu nuqtada ^y

orttirmani tuzamiz:

y 

f x

 x f x

  sinx

 xsinx

  2cos^ x

_ ^x _sin ^x _.

0 0 0

₀  ₀ 

_ 2 _ 2

Demak, nuqtada uzluksizlik ta’rifga koʻra,

sin x

funksiya

^x0 nuqtada

uzluksiz. Biroq

^x0 son toʻg‘ri chizig‘ining istalgan nuqtasi, dеmak,

sin x

funksiya

sonlar oʻqining istalgan nuqtasida uzluksizdir.

Teorema 1 ga koʻra, uzluksizdir.

_{tgx } sin x

cos x

funksiya barcha

x  ^  k, k  Z

2

nuqtalarda

Teorema 3 ga koʻra, nuqtalarda uzluksiz boʻladi.

arcsin x, arccos x, arctgx,arcctgx

oʻzi aniqlangan barcha

Teorema 4. Barcha asosiy elementar funksiyalar oʻzi aniqlangan barcha

nuqtalarda uzluksizdir.

Elementar funksiyalar deb, bitta formula bilan berish mumkin boʻlgan, asosiy elementar funksiyalarning chekli sondagi arifmetik amallari va superpozitsiyasini oʻz ichiga oluvchi funksiyalarga aytiladi.

Teorema 5. Barcha elementar funksiyalar oʻzi aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.

4. Uzilish nuqtalari va ularning turlari

Funksiya uzluksizligi buziladigan nuqtalar shu funksiyaning uzilish nuqtalari

deyiladi. Agar

^x0 nuqta

у  f (x)

funksiyaning uzulish nuqtasi boʻlsa, quyidagi

shartlardan kamida bittasi bajariladi:

1. 
   Funksiya
   

^x0 nuqta atrofida aniqlangan, lekin

^x0 nuqtaning oʻzida

aniqlanmagan.

Masalan,

^{у  1} ,

x  2

^{x0  2} da aniqlanmagan.

2. 
   Funksiya
   

^x0 nuqta va uning atrofida aniqlangan, lеkin

^x0 nuqtadagi

funksiyaning

f (x₀  0)

chap limiti va

f (x₀  0) oʻng limitlaridan kamida biri

cheksiz yoki mavjud emas.

1

Masalan, ^{у  3x2} , f 2  0  0,

f (2  0)  

3. 
   Funksiya
   

^x0 nuqta va uning atrofida aniqlangan,

^x0 nuqtada bir tomonlama

chekli limitlar mavjud, lеkin oʻzaro tеng emas:

f x₀  0 

f (x₀  0)

Masalan,

_{у }  ^{x 1,}

agar

x  2

bo`lsa

,

f 2  0  1  f (2  0)  0


_2  x,

agar

x  2 bo`lsa.

4. 
   Funksiya ^x0 nuqtada aniqlangan, bir tomonlama limitlar mavjud, oʻzaro
   

tеng, ya’ni

lim

x x₀

f (x)

mavjud, lеkin ular funksiyaning bu nuqtadagi

qiymatiga tеng emas:
^{sin x} , agar

f x₀  0  f (x₀  0) 

x  0 bo`lsa
f x₀ .

Masalan,

у  _{ x}

^_ 2,

agar

x  0 bo`lsa.

Yoʻqotish(Bartaraf etish) mumkin boʻlgan uzilish.

^x0 nuqtada

у  f (x)

funksiya uzilishga ega, biroq bir tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng, ya’ni

f x₀  0  f (x₀  0)

ataladi.

boʻlsa,

^x0 nuqta yoʻqotish mumkin boʻlgan uzilish nuqtasi dеb

Bu nuqtaning bunday atalishiga sabab shuki, funksiyaning bu nuqtadagi qiymati sifatida bir tomonlama limitlarning qiymatlarini oladigan boʻlsak, biz goʻyo funksiyani shu nuqtada yangidan aniqlab, uzilishni yoʻqotamiz.

^{sin x} , agar


x  0 bo`lsa

Masalan,
nuqtasidir.

у  _{ x}

^_ 2,

agar

x  0 bo`lsa.

x₀  0

nuqta funksiyaning uzilish

Biroq,

lim

x0

^{sin x  1} , ya’ni

x

f  0 

f (0)  1

bir tomonlama limitlar mavjud

va oʻzaro tеng, ammo

x₀  0

nuqtada

^{f (0)  2} . Dеmak,

x₀  0

yoʻqotish mumkin

boʻlgan uzilish nuqtasi,

f 0  f  0  f (0)  1

dеb olamiz. Shu bilan uzilish

nuqtasini bartaraf etamiz(2-shakl) .

2-shakl.

Birinchi tur uzilish nuqtasi. Agar

^x0 nuqtada

у  f (x)

funksiyanig bir

tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng boʻlmasa, ya’ni

f x₀  0 

f (x₀  0)

boʻlsa, bu nuqta birinchi tur uzilish nuqtasi dеb ataladi. h 

f x₀  0 f (x₀  0)

soni

_{.

.
funksiyaning ^x0 nuqtadagi sakrashi dеb ataladi(3-shakl).

0 ^𝑥0 𝑥

3- shakl

Ikkinchi tur uzilish nuqtasi. Agar ^x0 nuqtada bir tomonlama limitlardan

kamida biri chеksiz yoki mavjud boʻlmasa, dеyiladi.

^x0 nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi

3. 
   misol. Uzilish turi aniqlansin:
   

у  ^x x

Yechish.

x  0,

f  0  1 

f (0)  1 ,

y

h  f  0 f (0)  2

.

.
4-shakl.

Dеmak,

x  0

birinchi tur uzilish nuqtasi boʻladi.

1

3. 
   misol. Uzilish turi aniqlansin:
   

1


f (x)  2 ^х1

Yechish. ^{f (x)  2 х1}

funksiya ^{x  1} nuqtada aniqlanmagan(5-shakl).

1

f 1  0 

lim

x10

2 ^{x 1}  2^  0,

f 1  0 
lim

x10

1

2 ^{x 1}  2^  .

Dеmak,

x  1

nuqta - ikkinchi tur uzilish nuqtasi.

3. 
   shakl.
   

5-misol. Uzilish turi aniqlansin:

f (x)  sin ¹ _.

x

Yechish.

f (x)  sin ¹

x

funksiya

x  0
nuqtada aniqlanmagan. Lekin

f (0)  lim sin ¹
mavjud emas, demak,

x  0
ikkinchi tur uzilish nuqtasidir .

x0

x

5. Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

Teorema 6. Agar
f (x)

funksiya a;b kesmada uzluksiz boʻlsa, funksiya shu

kesmada oʻzining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.

Natija 1. Kesmada uzluksiz funksiya shu kesmada chegaralangan boʻladi.

Teorema 7. Agar
f (x)

funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida

f (a)  A, f (b)  B boʻlsa, u holda funksiya shu kesmada A va B lar orasidagi barcha

qiymatlarni qabul qiladi.

Natija 2. Agar f (x)

funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida har

xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda shu kesma ichida kamida bitta shunday

c nuqta mavjudki, bu nuqtada funksiya qiymati nolga teng: f (с)  0 .