1. Murakkab funksiyaning limiti. Ba’zi bir ajoyib limitlar. Funksiyalarni asimptotik taqqoslash

Mavzu: Funksiyaning yig’indisi, ko’paytmasi va bo’linmasining limiti.


Reja:


1. Murakkab funksiyaning limiti.
2. Ba’zi bir ajoyib limitlar.
3. Funksiyalarni asimptotik taqqoslash.

Murakkab funksiyaning limiti.
y=f(u), u=g(x) funksiyalardan tuzilgan y=f(g(x)) murakkab funksiya berilgan bo’lsin.
g(x)=c bo’lib, c son D(f) to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
Teorema Agar g(x)=c va f(u)=b limitlar mavjud bo’lsa, x a da f(g(x)) limit ham mavjud bo’lib, f(g(x))=b bo’ladi.
Teoremani isbotini limit ta’riflaridan keltirib chiqarish mumkin.(isbotlang)
Misol .



Ba’zi bir ajoyib limitlar.
Teorema.
.
Isbot. , , funksiyani qaraymiz. Ravshanki, , agar .
Ma’lumki, , bundan
uchun qo’shtengsizlikka ega bo’lamiz. Limitning xossalariga ko’ra, tenglikka ega bo’lamiz.
xuddi shunday isbotlanadi. Demak, .

Teorema isbotlandi.

Izoh. Agar almashtirishni amalga oshirsak, tenglikka ega bo’lamiz.
Misol.
.


Teorema.(Birinchi ajoyib limit) .

Radiusi R=1 bo’lgan markaziy burchakni qaraymiz (rasm).

A Х 0 С В D

Bu yerda . Ravshanki, , ya’ni . Boshqa tarafdan, ОАВ sektorning yuzasi ning yuzasida kichik: , ya’ni .

Demak uchun . Bu tengsizlikdan bo’lgani uchun

tengsizliklarga ega bo’lamiz.
Bu tengsizliklar x ni -x bilan almashtirganda ham o’zgarmaydi, chunki cos(-x)= cosx va ; .
Shuning uchun yuqoridagi tengsizliklar 0 dan farqli barcha x (- ) larda o’rinli. Shu bilan barcha 0<|x|< da 1-cosx=2sin
Demak 0<|x|< da tengsizlik o’rinli.
Shunday qilib, isbotlandi.
Misol.
1) .
2)
3)


Teorema. .

Hususiy holda, kelib chiqadi.
Teorema. .
y=a^x-1 desak, a^x=1+y, x=loga(1+y) bo’lib, x da y bo’ladi.
.
Hususiy holda, bo’ladi.

Xuddi shu usulda ekanligini keltirib chiqarish mumkin.

(bu yerda ) ko’rinishdagi limitlarni hisoblashlashda 2 – ajoyib limitdan foydalaniladi:

Misol .

.