Evklid bo'lmagan geometriya Nagornaya Tatyana Sergeevna

Evklid bo'lmagan geometriya
Nagornaya Tatyana Sergeevna
Evklid bo'lmagan geometriya
…………… Institut ………..

Evklid bo'lmagan geometriya

Talaba tomonidan amalga oshiriladi

…………………………

Sankt-Peterburg

2006 yil

Tarkib
Tarkib. 2

Kirish. 3

Evklid bo'lmagan geometriya teoremalariga misollar. 5

Lobachevskiyning geometriyasi. o'n bir

Lobachevskiy geometriyasining paydo bo'lishi. o'n uch

Lobachevskiy geometriyasining talqinlari. 15

Riemann geometriyasi. 21

Evklid bo'lmagan geometriyalarning qo'llanilishi. 22

Adabiyot. 23

Kirish
Evklid bo'lmagan geometriyalar (N.G.) - Evklid geometriyasidan farq qiladigan barcha geometrik tizimlar; ammo, odatda, "N. G." faqat figuralar harakati belgilangan geometrik tizimlarga (Evklid geometriyasidan tashqari) va Evklid geometriyasidagi kabi erkinlik darajasida amal qiladi. Evklid tekisligidagi figuralarning harakat erkinligi darajasi har bir figuraning nuqtalari orasidagi masofalarni o'zgartirmasdan, uning istalgan tanlangan nuqtasi har qanday oldindan belgilangan pozitsiyani egallashi uchun ko'chirilishi mumkinligi bilan tavsiflanadi; bundan tashqari, har bir raqam o'zining istalgan nuqtasi atrofida aylanishi mumkin. Evklid uch o'lchovli fazoda har bir figurani shunday ko'chirish mumkinki, undagi har qanday tanlangan nuqta har qanday oldindan belgilangan pozitsiyani oladi; bundan tashqari, har bir raqam o'zining istalgan nuqtasidan o'tadigan har qanday o'q atrofida aylanishi mumkin.

Lobachevskiy geometriyasi (L.G.) va Riman geometriyasi (R.G.) alohida ahamiyatga ega boʻlib, ular koʻpincha N. G. Lobachevskiy geometriyasi Evklid geometriyasidan farq qiladigan birinchi geometrik tizim va birinchi umumiy nazariya (jumladan, Evklid geometriyasi) haqida gapirganda, degan maʼnoni anglatadi. cheklovchi holat sifatida). Keyinchalik kashf etilgan Riman geometriyasi qaysidir ma'noda Lobachevskiy geometriyasiga qarama-qarshidir, lekin ayni paytda unga zaruriy to'ldiruvchi bo'lib xizmat qiladi. Evklid, Lobachevskiy va Rimanning geometriyalarini birgalikda o'rganish ularning har birining xususiyatlarini, shuningdek, ularning bir-biri bilan va boshqa geometrik tizimlar bilan aloqalarini to'g'ri yoritishga imkon berdi. Quyida NG ham, Evklid geometriyasi ham sintetik nazariyalar sifatida, so‘ngra differensial geometriya bo‘yicha va nihoyat, proyektiv modellar ko‘rinishida solishtiriladi.

N. g. sintetik nazariyalar sifatida. Lobachevskiy geometriyasi Evklid aksiomalari asosida qurilgan, parallellik haqidagi faqat bitta aksioma bundan mustasno. Ya'ni, Evklid geometriyasining parallellar aksiomasiga ko'ra, berilgan a to'g'rida yotmagan nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq o'tadi, u a to'g'ri chiziq bilan bir tekislikda yotgan va bu chiziqni kesib o'tmaydi; Lobachevskiy geometriyasida bunday chiziqlar bir nechta bor deb taxmin qilinadi (keyin ularning cheksiz ko'pligi isbotlangan).

Riman geometriyasida aksioma qabul qilinadi: berilgan chiziq bilan bir tekislikda yotgan har bir chiziq bu chiziqni kesib o'tadi. Bu aksioma Evklid geometriyasining aksiomalar tizimiga ziddir, parallellar aksiomasidan tashqari. Ya'ni, Riman geometriyasining asosini tashkil etuvchi aksiomalar tizimi Yevklid geometriyasi aksiomalari tizimidan faqat parallellar haqidagi bir aksiomani boshqa bayonot bilan almashtiribgina qolmay, balki boshqa aksiomalar nuqtai nazaridan ham albatta farq qilishi kerak. Ushbu geometriyalarda geometrik elementlarning tartib munosabatlari deb ataladigan narsalarni asoslash uchun xizmat qiluvchi aksiomalar farqlanadi. Mohiyati quyidagicha: Evklid geometriyasida va Lobachevskiy geometriyasida chiziqdagi nuqtalarning tartibi chiziqli, ya'ni haqiqiy sonlar to'plamidagi tartib bilan o'xshash; Riman geometriyasida toʻgʻri chiziqdagi nuqtalar tartibi siklikdir, yaʼni aylanadagi nuqtalar toʻplamidagi tartib bilan oʻxshash. Bundan tashqari, Evklid va Lobachevskiy geometriyalarida berilgan tekislikda yotgan har bir chiziq bu tekislikni ikki qismga ajratadi; Riman geometriyasida toʻgʻri chiziq tekislikni ikki qismga ajratmaydi, yaʼni tekislikning berilgan toʻgʻri chiziqda yotmaydigan istalgan ikkita nuqtasi shu tekislikda berilgan toʻgʻri chiziqni kesib oʻtmasdan uzluksiz yoy orqali tutashtirilishi mumkin ( proyektiv tekislik Riman tekisligining topologik modeli bo'lib xizmat qiladi).

Shakllar harakatini aniqlaydigan aksiomalarning talablari har uchala geometriya uchun ham bir xil.

Evklid bo'lmagan geometriyadagi teoremalarga misollar

1) Lobachevskiy geometriyasida har qanday uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kichikdir; Riman geometriyasida bu yig'indi ikki chiziqdan katta (Yevklid geometriyasida u ikki chiziqqa teng).

2) Lobachevskiy geometriyasida uchburchakning maydoni quyidagi formula bilan ifodalanadi:

S = R2(p - a - b - g), (1)

Bu erda a, b, g - uchburchakning ichki burchaklari, R - maydon birligini tanlash bilan belgilanadigan ba'zi doimiy. Riemann geometriyasida quyidagi formula mavjud:

S = R2(a + b + g - p) (2)

belgilarning o'xshash ma'nosi bilan (Evklid geometriyasida uchburchakning maydoni va uning burchaklarining yig'indisi o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'q).

3) Lobachevskiy geometriyasida uchburchakning tomonlari va burchaklari oʻrtasida bir qancha bogʻliqliklar mavjud, masalan.

bu yerda sh, ch - giperbolik sinus va kosinus (qarang Giperbolik funksiyalar), a, b, c - uchburchakning tomonlari, a, b, g - ularga qarama-qarshi burchaklar, R - masshtabni tanlash bilan aniqlangan doimiy; to'g'ri burchakli uchburchak uchun (gipotenuza c va to'g'ri burchak g bilan), masalan, tenglik sodir bo'ladi: