|
Brownian ha’reketine qarata integraciya
Ito integralın Riemann – Stieltjes integralına uqsas ta’rizde anıqlaw mu’mkin, yag’nıy Riemann qosındıları itimalındag’I limit sıpatında; bunday limit jol-jo’nelisi boyınsha ulıwma joq esaplanadı. Oylap ko’reyik, bul tayanısh Wiener process (Brownian ha’reket) ha’m tuwrı u’ziliksiz (cadlag), maslasqan ha’m local shegaralang’an processke iye bolsın. Eger { π n } {\displaystyle \{\pi _{n}\}} {\displaystyle \{\pi _{n}\}} bir izbe-izlikte bo’limler [0, t] menen mas isleniwshi nol, keyin Itoajıralmas H penen B g’a shekem waqıt t ku’tilmegen o’zgeriwshileri to’mendegishe boladı:
Bul shegaranın’ itimallıqqa jaqınlasıwın ko’rsetiwi mu’mkin . Bazı ilovalar ushın, bunday daw wa’killik teoremalar ha’m jergilikli bir ma’rtelik sıpatında, integral u’ziliksiz bolmag’an processler ushın za’ru’r boladı. Aldınnan aytılatug’ın processler izbe-izlikler limitlerdi alg’an halda jabılatug’ın ha’m barlıq maslasqan shep u’ziliksiz processlerdi o’z ishine alg’an en; kishi klasstı quraydı. Eger H ha’r bir t ≥ 0 ushın ∫0t H2 ds < ∞ bunday aldınnan aytıp bolmaytug’n process bolsa, ol jag’dayda B g’a salıstırg’anda h tın’ integralı anıqlang’an bolıwı mu’mkin ha’m H b – integrallanıwshı dep aytıladı. Ha’r qanday bunday processti shep-u’ziliksiz, maslastırılg’an ha’m local shegaralang’an processler izbe-izligi Hn menen approksimaciya qılıw mu’mkin, degen ma’niste
Itimallıq penen, keyin ala, Ito integralı
Bul jerde , ja’ne de shegarasın itimallıq penen ko’rsetiw mu’mkin. Stoxastikalıq integral Ito izotermiyasın qanaatlandırıwshı
qaysi H shekli bolg’anda uslap turadı yamasa ulıwma on’ ta’reptegi integral shekli bolg’anda.
Ito processleri
Μ = 0 ha’m σ = ψ(t-5) menen Ito prcessinin’ jalg’ız realizaciyası, bul jerde ψ Ricker tlqınlı. Tolqın ma’wsimleri Off, It processiniı ha’reketi turaqlı.
Ito processi Brownian ha’reketine salıstırg’anda integraldın’ qosındısı ha’m waqıtqa salıstırg’anda integraldı an’latıw mu’mkin bolg’an maslastırılg’an stoxastikalıq process dep ta’riyplenedi.
Bul jerde B Brownian ha’reket ha’m σ aldınnan b – integrallanıwshı process bolıp, μ aldınnan ha’m (Lebesgue) integrallanıwshı bolıwı talap etiledi.
Stoxastikalıq processti bunday it processlerge o’zgertiw mu’mkin.
Bul barlıq jergilikli shegaralang’an ha’m aldınnan integrands ushın belgilengen. A’dette, ko’birek Hσ B-integrable bolıwı ha’m Hµ Lebesgue integrable, sonday bolıwı talap etiledi
Bunday aldınnan aytıp bolmaytug’ın processler H X-integraciyalanıwshı delinedi.
It processlerin u’yreniw ushın a’hmiyetli na’tiyjege erisiw ushın a’hmiyetli na’tiyje bul lema esaplanadı. Onın’ en’ a’piwayı ko’rinisinde, real ha’m ol process x boyınsha ha’r qanday eki ma’rte u’ziliksiz differenciyalanıwshı funkciya ushın joqarıda aytılg’anınday, f(X)tın’ o’zi Ito processin qanaatlandırıwshı
Bul o’zgerwhsiler formula ha’m shınjır qag’ıyda o’zgeriwi stoxastikalıq esap versiyası esaplanadı. Bul sebepli F ekinshi latın tartıw qosımsha mu’ddetke standart na’tiyjesinde parıq, Brownian ha’reket nol bolmag’an kvadrat o’zgeriw bar, dep qa’siyetten alınadı.
Integral barlıq predikativ ha’m local shegaralang’an integrallarg’a, hu’kimiran jaqınlasıwshı teorema tutqan sıyaqlı o’zine say ta’rizde sozıladı. Yag’nıy local shegaralang’an process J ushın Hn → ;H va |Hn| ≤ J bolsa, onday jag’dayda:
Ken’eytpenin’ left-continuos dan predikativ integrallawg’a jalg’ızlıg’I monoton klass lemmasının’ na’tiyjesi bolıp esapanadı.
Demek integrallaw menen stoxastikalıq process, Ito stoxastik integral ha’r qanday noqatta differenciallanbaytug’ın ha’m ha’r qıylı waqıt aralıg’ındasheksiz o’zgeriske iye bolg’an funkciyag’a qarata integraldı sho’lkemlestiredi. Tiykarg’I tu’sinik integraldı integrand H qa maslasqan eken dep belgilew mu’mkin, bul bolsa erkin halda aytqanda, onın’ t waqıttag’I ma’nisi tek g’ana usı waqıtqa shekem bar bolg’an informaciyag’a baylanıslı bolıwı mu’mkinligin bildiredi. Qopal etip aytqanda, 0 den t g’a shekem bolg’an intervaldın’ bo’linbeleri izbe – izligin tan’laydı ha’m Riemann swmmaların jasaydı. Ha’r sapar biz Riemann summasın esaplag’anımızda, biz integratordın’
anıq instanciyasınan paydalanamız. Kishi intervallardın’ ha’r birinde qaysı noqat funkciyanın’ ma’nisin esaplaw ushın isletiliwi a’hmiyetli. Bo’limnin’ jumısları nolge ten’ bolıp, ol jag’dayda limit itimallıq penen alınadı. Ko’p texnikalıq mag’lıwmatlar, bul shegara bar ha’m bo’limleri ayırıqsha izbe – izlikte g’a’rezsiz ekenligin ko’rsetiw ushın g’amxorlıq alınıwı kerek. A’dette, intervaldın’ shep ushı isletiledi.
Ulıwma alg’anda, stoxastik integraldı h*X aldınnan aytıw processi H local shegaralanbag’an hallarda da anıqlaw mu’mkin. Eger 1 / (1 + |H|) K keyin K ha’m X shegaralang’an bolsa. Stoxastik integrallawdın’ associativligi sonı na’zerde tutadı, H-integraciyalanıwshı, integral menen H*X=Y, eger tek g’ana Y0=0 ha’m K*Y=(KH)*Y bolsa, X – integraciyalanıwshı processler toplamı L (X) penen belgilenedi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
