Tema: Stoxastikalıq integral tu’sinigi jobasi: Kirisiw

Sheshiliwi. u=x⁴, υ ⁽ⁿ⁾=cosx belgilewlerin kiritip, (15) formulasınan paydalanıp,

na’tiyjesine iye bolamız

A n ı q e m e s i n t e g r a l l a r d ı n ’ t i y k a r g ’ I t a b l i t s a s ı

Meyli u(x) funktsiyası bazı bir sanlar kesindisinde differentsiallanıwshı funktsiya bolsın. Onda differentsialaw esabındag’ı funktsiyalardı differentsiallaw ag’ıydalarınan paydalanıp, bazı bir elementar funktsiyalar ushın olardın’ anıq emes integrallarının’ tablitsasın jazıwg’a boladı.

ITO STOXATIKALIQ INTEGRALI

Bul esap, Kiyoshi Ito atındag’ı integral, bunday Brownian ha’reketi sıpatında stoxastik processler ushın esap usılların uzaytıradı . Matematikalıq finans ha’m stoxastikalıq differencial ten’lemelerde a’hmiyetli izzertlewlerge iye.

Oraylıq tu’sinik Ito stoxastik integral, Riemann – Stieltjes integralının’ analizinde stoxastikalıq ulıwmalıg’ı bolıp tabıladı. Integratorlar ha’m integratorlar endi stoxastik processler esaplanadı:

qay jerde H X ta’repinen payda etip filtrlew ushın maslastırılg’an jergilikli kvadrat-integraciya process (Revuz & Yor 1999, IV bap), qaysı bir Brownian ha’reket yamasa, ja’ne a’dette semimartingle boladı. Integraciya na’tiyjesi keyin ja’ne bir stoxastikalıq process. Konkret, 0 den ha’r qanday ayırıqsha t g’a shekem bolg’an integral ku’tilmegen o’zgeriwshi bolıp, ku’tilmegen o’zgeriwshilerdin’ ma’lim izbe – izliginin’ limiti sıpatında anıqlanadı. Brownian ha’reket jolları esap standart metodların qollaw imkaniyatına iye boıw ushın talaplardı qandırıw ushın a’wmetsiz. Demek integrallaw menen stoxastikalıq process, Ito stoxastik integral ha’r qanday noqatta differenciallanbaytug’ın ha’m ha’r qıylı waqıt aralıg’ındasheksiz o’zgeriske iye bolg’an funkciyag’a qarata integraldı sho’lkemlestiredi. Tiykarg’I tu’sinik integraldı integrand H qa maslasqan eken dep belgilew mu’mkin, bul bolsa erkin halda aytqanda, onın’ t waqıttag’I ma’nisi tek g’ana usı waqıtqa shekem bar bolg’an informaciyag’a baylanıslı bolıwı mu’mkinligin bildiredi. Qopal etip aytqanda, 0 den t g’a shekem bolg’an intervaldın’ bo’linbeleri izbe – izligin tan’laydı ha’m Riemann swmmaların jasaydı. Ha’r sapar biz Riemann summasın esaplag’anımızda, biz integratordın’

anıq instanciyasınan paydalanamız. Kishi intervallardın’ ha’r birinde qaysı noqat funkciyanın’ ma’nisin esaplaw ushın isletiliwi a’hmiyetli. Bo’limnin’ jumısları nolge ten’ bolıp, ol jag’dayda limit itimallıq penen alınadı. Ko’p texnikalıq mag’lıwmatlar, bul shegara bar ha’m bo’limleri ayırıqsha izbe – izlikte g’a’rezsiz ekenligin ko’rsetiw ushın g’amxorlıq alınıwı kerek. A’dette, intervaldın’ shep ushı isletiledi.

Ito esabının’ a’hmiyetli na’tiyjelerine bo’limler formulası boyınsha integrallaw ha’m o’zgeriwshiler formulasının’o’zgeriwi bolg’an Itonın’ lemması kiredi. Bular kvadratik variacion sha’rtlerden kelip shıqqan halda standart esap formulalarınan parıq qıladı.

Matematikalıq finansda integraldın’ ta’riyplengen bahalaw strategiyası biz aldın ne islewimiz kerek ekenligin sheshemiz, keyin bahalardın’ o’zgeriwin gu’zetemiz. Integrand – bul qansha akciyanı uslap tursaq, integrator bahalardın’ ha’reketin an’latadı ha’m integral bizlerdin’ akciyamız, sol sebepten, ha’r qanday waqıtta qansha pul bar. Qımbatlı qag’azlar ha’m basqa kodirovka finanslıq aktivler bahası Brownian ha’reket yamasa tez-tez stoxastikalıq processler menen modellestiriw mu’mkin, geometriyalıq Brownian ha’reket. Keyin, Ito stoxastikalıq integralı waqıttın’ o’zinde akciyanın’ Ht mug’darın uslap turıwdan ibarat u’ziliksiz waqıtlı sawda strategiyasının’ to’lemin an’latadı. Bul joqarı chostatalı sawda arqalı sheksiz daramat alıw imkaniyatının’ aldın aladı:bazarda ha’r bir uptickdan aldın akciyanı satıp alıw ha’m ha’r bir downtickdan aldın satıw. Tap sonın’day, h tın’ maslasqan sha’rt Rieman qosındılarının’ limiti esaplang’anda stoxasikalıq integraldın’ ajralmaslıg’ın na’zerde tutadı (Revuz&Yor 1999, IV bap).

Jazıw sıpatında aldın belgilengen process Y

O’zi de bazıda Y = H · X (Rogers & Williams 2000) dep jazılg’an waqıt parametri t menen stoxastikalıq process boladı. Sol menen bir qatarda integral ko’binese y-Y₀=H*X ke ekvivalent bolg’an dy=Hdx differencial ko’riniste jazıladı. Ito esabı u’ziliksiz waqıtlı stoxastikalıq processlerge tiyisli bolg’anı ushın, tiykarg’I filtrlengen itimallıq fazası dep oylap qaraladı.

Ε-algebra FT waqıt t g’a shekem bar bolg’an mag’lıwmatlardı an’latadı ha’m ha’r bir process XT Ft bolsa maslastırılg’an o’lshenetug’ın boladı. Bir Brownian ha’reket B tu’sinikli bolıwı ushın bir Ft-Brownian ha’reket, tek g’ana qaysı bir standart Brownian ha’reket penen qa’siyetleri dep Bt esaplanadı. Ft o’lshenetug’ın ha’m Bt+s-Bt esaplanadı, g’a’rezsiz Ft ushın barlıq s,t ≥ 0 (Revuz & Yor 1999).