|
6.2 Sirt orqali o’tadigan Vektor maydon oqimining tezliklar maydonidagi fizik ma’nosi
V ektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz. Sirt yopiq bo‘lganda tashqi tomonga yo‘nalgan normal musbat deb qabul qilingan. Faraz qilaylik, vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini orqali aniqlasin. Bu tezlik vektori har bir nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan yo‘nalish, vektor chiziqlari esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo‘ladi. Sirt yopiq bo‘lganda 6.2.1-chizma sirtga kirayotgan vektor chiziqlari bilan chiqayotgan vektor chiziqlarining soni teng bo’ladi. (6.2.1-chizma).
sirt orqali vaqt birligi ichida oqib o‘tadigan suyuqlik miqdorini hisoblaymiz. Buning uchun sirtda nuqtani va sirtning elementini qayd qilamiz.
Vaqt birligida bu element orqali oqib o‘tgan suyuqlik miqdori asosi va yasovchisi bo‘lgan silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi uning yasovchisini normal birlik vektoriga proyeksiyalash yo‘li bilan hosil qilinadi. shuning uchun silindrning hajmi
kattalikka teng bo‘ladi. Vaqt birligi ichida butun sirt bo‘yicha oqib o‘tgan suyuqlikning to‘liq hajmi yoki suyuqlik miqdori bo‘yicha integrallash natijasida hosil bo‘ladi:
Bu natijani (6.1.1) formula bilan taqqoslab, bunday xulosa chiqaramiz: sirt orqali o‘tayotgan tezlik vektori oqimi shu sirt orqali vaqt birligi ichida sirt orientatsiyalangan yo‘nalishda oqib o‘tgan suyuqlik miqdoridir. Vektorlar oqimining fizik ma’nosi ana shundan iborat. sirt fazoning biror sohasini chegaralovchi yopiq sirt bo‘lgan hol ayniqsa katta qiziqish o‘yg‘otadi. Bu holda normal vektorini doim fazoning tashqi qismiga yo‘naltirishga shartlashib olamiz. Normal tomoniga qarab harakat sirtning tegishli joyida suyuqlik sohadan oqib chiqishini anglatadi, normalning qarama-qarshi tomoniga qarab harakat esa suyuqlik sirtning tegishli joyida shu sohaga oqib kirishini anglatadi. yopiq sirt bo‘yicha olingan integralning o‘zi esa
ko‘rinishda belgilanadi va sirtdan oqib chiqayotgan suyuqlik bilan unga oqib kirayotgan suyuqlik orasidagi farqni beradi.
Bunda, agar bo‘lsa, sohaga undan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi.
Agar oqim qiymati bo‘lsa, yopiq sirtdan chiqayotgan suyuqlik miqdori kirayotganga qaraganda ko‘p bo’ladi. Bu holat sohada manba borligidan dalolat beradi .
Agar oqim qiymati bo‘lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko‘rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan uzoqlashadigan joylar borligini ifodalaydi (masalan, bug‘lanadi).
Shunday qilib, integral manbalarning va qurdumlarning umumiy quvvatini beradi.
6.3 Ostrogradskiy-Gauss formulasi
Teorema 6.3.1. Agar
vektor maydon proyeksiyalari sohada o’zining birinchi tartibli xususiy hosilasi bilan birga uzluksiz bo’lsa, u holda yopiq sirt orqali vektor oqiminishu sirt bilan chegaralangan hajm bo’yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo’yicha shakl almashtirish mumkin:
bu yerda integrallash sirtning tashqi tomoni bo’yicha amalga oshiriladi (sirtga o‘tkazilgan normal fazoning tashqi qismiga yo‘nalgan).
formula Ostogradskiy formulasi deyiladi.
Isbot: fazoda pastdan tenglama bilan aniqlangan silliq ( ) sirt bilan. yuqoridan tenglama yordamida aniqlangan silliq ( ) sirt bilan, yon tomondan esa yasovchilari o ’qiga parallel bo’lgan silindrik ( ) sirt bilan chegaralangan sohani (jismni) qaraylik. Uning tekislikdagi proeksiyasi bo’lib, bu ning chegarasi yuqorida aytilgan silindrik sirtning yo'naltiruvchisi sifatida olinadi. { }, (6.3.1-chizma).
Faraz qilaylik, da funksiya berilgan va uzluksiz bo'lsin. Bundan tashqari bu funksiya shu sohada
xususiy hosilaga ega va bu hosila ham uzluksiz bo’lsin.
Ravshanki, bu holda
uch karrali integral mavjud bo’ladi va quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
Bundan,
soha ham sirtning, ham sirtning tekislikdagi proeksiyasi bo‘lgani uchun (6.3.2) tenglikning o’ng tomonidagi ikki karrali integrallarni ularga teng bo‘lgan
sirt integrallari bilan almashtirish mumkin. Natijada quyidagini hosil qilamiz:
Ikkinchi qo‘shiluvchida sirtning tashqi tomonini ichkisiga almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:
sirt yasovchiiari o'qiga parallel bo’lgan silindrik sirt bo'lganligidan
Bu munosabatlardan,
bo’lishi kelib chiqadi. Bunda - jismni o’rab turuvchi sirt. Bu yerda yopiq sirtning tashqi tomoni olinadi.
Quyidagi formulalar ham xuddi kabi hosil qilinadi:
Yuqoridagi , , va tengliklarni hadlab qo’shib,
Ostrogradskiy formulasiga kelamiz. Bu formula teoremaning shartini qanoatlantiruvchi sohalarga bo‘lish mumkin bo‘lgan istalgan fazoviy soha uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Bu formula yordamida yopiq sirtlar bo‘yicha sirt integrallarini hisoblash qulay bo‘ladi.
Endi umumiy holni ko‘raylik. Fazoviy sohani ta elementar turdagi sohalarga ajratish mumkin bo’lsin:
belgilashlar orqali sohani o‘rovchi sirtning quyi, yuqori va yon sirtlarini belgilaylik. U holda
bo’ladi. Chunki bo'yicha olingan integrallar nolga teng, va sirtlar bo‘yicha integrallar yig'indisi sirt bo‘yicha olingan integralni beradi.
Xuddi shuningdek, va ko’rinishdagi sohalar uchun
formulalarga kelamiz. Topilganlarni qo’shsak formulanng isboti kelib chiqadi. Ostragradskiy-Gauss formulasini quyidagicha ham yozish mumkin:
Do'stlaringiz bilan baham: |
