28-ma’ruza. I va II tur sirt intеgrallari. Sirt intеgrallarining tatbiqlari

28-MA’RUZA. I VA II TUR SIRT INTЕGRALLARI. SIRT INTЕGRALLARINING TATBIQLARI.

Rеja

I tur sirt intеgrali va uning tatbiqlari. II tur sirt intеgrali.

Tayanch ibоra va tushunchalar

I tur sirt intеgrali, moddiy sirt massasi, moddiy sirt ogʻirlik markazi, statik va inersiya momentlari, ikki tomonli sirt, II tur sirt intеgrali, umumiy II tur sirt integrali.

1. I tur sirt intеgrali va uning tatbiqlari
Fazoda boʻlakli silliq L yopiq chiziq bilan chegaralangan S silliq sirtni qaraymiz. Bu sirtni boʻlaklarga boʻlamiz va bu boʻlaklarning yuzalarini ham deb belgilaymiz. S sirtning har bir nuqtasida uzluksiz funksiya berilgan boʻlsin. Sirtning har bir boʻlagidan nuqtalarni tanlaymiz(1-shakl) va yigʻindi tuzamiz


1-shakl
Bu yigʻindi birinchi tur sirt integralining integral yigʻindisi deb ataladi. boʻlaklarning diametrini bilan belgilaymiz. Agar integral yigʻindining dagi chekli limiti, S sirtni boʻlaklarga boʻlinish usuliga va har bir boʻlakdan nuqtalarni tanlash usuliga bogʻliq boʻlmagan holda, mavjud boʻlsa, bu limit funksiyadan S sirt yuzi boʻyicha olingan integral yoki birinchi tur sirt integrali deyiladi.
(28.1)
Agar S sirt oshkor koʻrinishda tenglama bilan berilgan boʻlib, bu funksiya oʻzining xususiy hosilalari bilan sohada uzluksiz boʻlsa, u holda I tur sirt integralni hisoblash uni ikki karrali integralga keltirish bilan amalga oshiriladi:

Bu yerda soha S sirtning tekislikdagi proyeksiyasidir(2-shakl).
Agar S sirt tenglamasi yoki tenglamalar bilan berilgan boʻlsa, I tur sirt integralini hisoblash mos ravishda quyidagi formulalar bilan amalga oshiriladi:





2-shakl

Agar integral ostidagi funksiya boʻlsa, I tur sirt integrali

sirt yuzini aniqlaydi(oʻng tarafdagi integral ikki karrali integral yordamida sirt yuzini hisoblash).
Agar integral ostidagi funksiya S moddiy sirt boʻyicha massa taqsimlanishining har bir nuqtasidagi zichligini bildirsa, u holda I tur sirt integrali S sirtning massasini aniqlaydi

Moddiy sirtning koordinata tekisliklariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

Moddiy sirtning ogʻirlik markazi quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

Moddiy sirtning Ox, Oy, Oz koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari



Хоssаlаri:
1. , k – oʻzgаrmаs sоn.
2. .
3. , bu yеrdа
4. Agar berilgan sirt ustida tengsizlik oʻrinli boʻlsa, quyidagi tengsizlik oʻrinli boʻladi:
.
5. .
6. Oʻrta qiymat haqidagi teorema. Agar funksiya S sirtda uzluksiz boʻlsa, u holda bu sirtda shunday nuqta topiladiki, quyidagi tenglik oʻrinli

bu yerda -sirtning yuzi.
1-misol. I tur sirt integralini hisoblang: , bu yerda S - tekislikning birinchi oktantdagi qismi(3-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz
,
bu yerda berilgan S sirtning tekislikdagi proyeksiyasini aniqlaydi, ya’ni, , va chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak sohasi(4-shakl).
I tur sirt integralini (28.2) formula yordamida ikki karrali integralga keltirib hisoblaymiz. boʻlgani uchun

boʻladi. Bundan,

Oxirgi integral uchburchak soha yuzini beradi va u 3 ga teng.
Demak,




3-shakl 4-shakl