28-ma’ruza. I va II tur sirt intеgrallari. Sirt intеgrallarining tatbiqlari

2-misol. I tur sirt integralini hisoblang: , bu yerda S - paraboloid sirtining tekislik bilan kesilgan qismi, (5-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz. Bu yerda x ni y va z oʻzgaruvchilar orqali ifodalash qulay
.
Shuning uchun sirt integralini hisoblashda (28.3) formuladan foydalanamiz. S sirtning Oyz tekislikdagi proyeksiyasini topamiz, buning uchun quyidagi sistemani yechamiz;

Paraboloid tekislik bilan aylanada kesishadi. Demak, S paraboloid sirtining Oyz tekislikdagi proyeksiyasi doira sohasi boʻladi. va ekanini va (28.3) formulani e’tiborga olgan holda,


ikki karrali integralga ega boʻlamiz. Bu integralda
va
qutb koordinatalar sistemasiga oʻtish qulay. Qutb koordinatalar sistemasida soha tengsizliklar bilan aniqlanadi(6-shakl). Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:

.

5-shakl 6-shakl